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%
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\documentclass[reqno,12pt]{article}
\usepackage[activeacute,spanish]{babel}
\usepackage{ae} % or {zefonts}
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\usepackage{pst-node} % para diagramas%
\usepackage{multicol}
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% funciones, etc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \newcommand{\lis}[1]{\begin{enumerate}{#1}\end{enumerate}}
 \newcommand{\foo}{\footnotesize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frenchspacing


% WinEdt's Bullets ----------------------------------
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\catcode`\=13
\def{$\bowtie$}

\newcommand{\dis}{\displaystyle}

% EURO ---------------------------------------
%\usepackage{textcomp} %\texteuro: poor design
%
% Get it from CTAN if it is not included in your TEX distribution
%\usepackage{europs}
%\DeclareInputText{128}{\EUR} % ANSI code for euro: €
%     \EURhv     selects EuroSans
%     \EURtm     selects EuroSerif
%     \EURcr     selects EuroMono
%     \EUR       selects one of the three above, depending on the current
%                context
%
%     \EURofc    selects EuroSans Regular independent of context
%                N.B.: This is the only "official" Euro symbol. If you
%                      want to conform with the rules of the EU (or
%                      whoever), you may only use this symbol.
%
%\usepackage{eurosym}
\DeclareInputText{128}{\euro} % ANSI code for euro: €

\usepackage{lscape} %landcape pages support
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\newcommand{\paginablanca}{\newpage{\pagestyle{empty}\cleardoublepage}} %asegura que lo que sigue después comienze en una página impar, añadiendo una página par completamente en blanco en caso de ser necesario


\hyphenation{ca-rre-te-ra res-pec-ti-va-mente es-co-lar me-tros
te-ner si-gui-en-tes co-rres-pon-de ma-yor ho-ri-zon-tal-men-te
res-pon-di-o di-fe-ren-tes res-pon-di-\'o o-pe-ra-ci-\'on
des-cri-bi-en-do res-pu-es-ta ca-be-llos ma-ne-ras}
\begin{document}

\title{Talleres I y II}
\author{Jesús Pérez Sánchez}
\date{Marzo 2008}
\maketitle \newpage



\section*{Introducci\'on}

 \indent He aqu\'i una colecci\'on de problemas cuyo objetivo es servir de
apoyo a los cursos de Taller 1 y Taller 2, de nuestra
licenciatura.\\


Los temas tratados son: L\'ogica, Aritm\'etica, Geometr\'ia
Euclidiana, \linebreak Algebra y Combinatoria. En parte hemos
querido recoger algunas experiencias, producto del ejercicio de la
enseñanza de dichos talleres, durante varios semestre, ac'a en
nuestro
Departamento de Matem'aticas (Facultad de\linebreak Ciencias U.L.A).\\


El plan es muy sencillo: en una primera parte, presentamos los
enunciados de los problemas; luego, ofrecemos sugerencias para
muchos de ellos; y, por 'ultimo, damos las respuestas
correspondientes.\\


Agradecemos las observaciones que los usuarios consideren
convenientes, a fin de mejorar el presente trabajo. Ser'a una gran
satisfacci'on el que el presente material sea de utilidad en las
labores de los Talleres, y en las \linebreak aplicaciones de
teoremas
b'asicos de las mencionadas ramas de la matem'atica.\\\\

\hfill Jes'us A. P'erez S'anchez.

 \hfill jesusp@ula.ve

\newpage
\tableofcontents
\newpage
\section{Problemas de Taller I}
\begin{enumerate} \item[1.1] Adolfo, Felipe, Juan y Marcos son jefes de la
secci'on 1, la secci'on 2, la secci'on 3 y la secci'on 4, de
cierta compa\~nia, aunque no necesariamente en ese orden.
 \lis{
    \item[i)] El jefe de la secci'on 3 es un fumador empedernido.

    \item[ii)] Adolfo y Marcos asistieron recientemente
    a la conferencia del jefe de la secci'on 2 en el Club Italo.

    \item[iii)] Felipe es un gran aficcionado a escribir, siendo el
    'unico de los cuatro que ha publicado un libro.

    \item[iv)] En sus desplazamientos, Juan y Adolfo siempre van en
    el Departamento de no fumadores.

    \item[v)] El libro del jefe de la secci'on 1 ha tenido un gran
    'exito.

   ?` Qui'en es el jefe de cada secci'on?
}
\bigskip
 \item[1.2]?` Cu'al es el n'umero que al quitarle la
mitad queda
igual a cero?\\

\item[1.3]?` Cu'antos minutos faltan para la media noche, si hace
10 minutos faltaban $\frac{5}{3}$ de lo que falta ahora?\\

\item[1.4] Cada una de las tarjetas de la figura tiene un n\'umero
en una cara, y en la otra, una letra.

\begin{center}
\begin{picture}(10,10)%\psgrid
\put(-80,-10){\framebox(30,30)[cc]{4}}
\put(-30,-10){\framebox(30,30)[cc]{A}}
\put(20,-10){\framebox(30,30)[cc]{B}}
\put(70,-10){\framebox(30,30)[cc]{5}}
\end{picture}
\end{center}


Algui\'en  afirm\'o: ``Todas  las  tarjetas que tienen una vocal
en una  cara  tienen  un  n\'umero  impar  en la otra''.

?`C\'omo comprobar  si tal afirmaci\'on es verdadera, volteando el
\textbf{  menor }    n\'umero     de     tarjetas?

\item  [1.5]  En  una tribu india, donde todav\'ia susbsiste el
trueque,  se  tiene  las \linebreak siguientes  equivalencias de
cambio:
\begin{itemize}
\item  Un  collar  y  una  lanza  se  cambian  por un escudo.
\item  Una  lanza  se  cambia  por  un  collar  y un cuchillo.
\item   Dos  escudos  se  cambian  por  tres  cuchillos.
\end{itemize}
?`A  cu\'antos  collares  equivale  una lanza?.

\item  [1.6] En  una regi\'on de Canad\'a los dos idiomas
oficiales son  el  Ingl\'es y el Franc\'es. Cualquier ciudadano de
la regi\'on  sabe  hablar,  al menos, uno de los dos; unos hablan
solo el  ingl\'es  y otros, hablan los dos idiomas. Si el 85\% de
los habitantes de esa regi\'on hablan ingl\'es, y  el  75\% habla
Franc\'es,  ?`Qu\'e porcentaje de los habitantes          de esa
regi\'on sabe           hablar los          dos idiomas?.

\item [1.7] De los n\'umeros \ \ $8^{10},\ \  9^{10}\ \  \mbox{y}\ \  10^8 $
?`Cu\'al es el mayor?.

\item[1.8]  Observe  las  siguientes  disposiciones  de  n\'umeros

$
\begin{array}{ccccccccccc}
&    &    &    &    &   1   &   &   &   &   &   \\
&    &   &   &   2   &   3   &   4   &   &   &   &   \\
&   &   &   5   &   6   &   7   &   8   &   9   &  &  &  \\
&    &    10&    11&    12&    13&    14&15    &16&    &    \\
&     17&     18&     19&    20&    21&    22&23    &24&25&    \\
26    &    27    &   28 &    \cdots  &   &   &   &   &   &   &
\end{array}$\begin{enumerate}
\item  [a)]  ?`  Cu\'al  es el t\'ermino del medio en la 30ª
fila?. \item [b)]?`Cu\'al es el n\'umero que queda directamente
encima del 898?.
\end{enumerate}

\item[1.9]       Consideremos       la       siguiente      tabla:
$$\begin{array}{ccccccc}
fila\  1\qquad &    0    &    8    &16    &   24&   32   &   \cdots   \\
fila\  2\qquad    &   1   &   9   &   17   &   25   &   33  &  \cdots  \\
fila\  3\qquad     &   2   &   10   &   18   &   26   &  34  &  \cdots  \\
fila\  4\qquad     &   3   &   11   &   19   &   27   &   35   &
\cdots
\end{array}$$
Hallar    la    fila    y    la   columna   del   n\'umero   1234.
\bigskip



\begin{minipage}{6cm}
\item [1.10] La figura muestra \textbf{tres dados iguales}.
Hallar el  n\'umero  de  la cara que es la base inferior de la
columna de dados.
 \end{minipage}
 \hspace{0.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-2)(2,1.6)%\psgrid
\psline[linewidth=1pt]{}(0,1)(0,-2)
\psline[linewidth=1pt]{}(1,1)(1,-2)
\psline[linewidth=1pt]{}(1.8,1.6)(1.8,-1.4)

\psline[linewidth=1pt]{}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1pt]{}(0,1)(1,1)
\psline[linewidth=1pt]{}(0,-1)(1,-1)
\psline[linewidth=1pt]{}(0,-2)(1,-2)

\psline[linewidth=1pt]{}(1,1)(1.8,1.6)
\psline[linewidth=1pt]{}(0.8,1.6)(1.8,1.6)
\psline[linewidth=1pt]{}(0.8,1.6)(0,1)

\psline[linewidth=1pt]{}(1,0)(1.8,0.6)
\psline[linewidth=1pt]{}(1,-1)(1.8,-0.4)
\psline[linewidth=1pt]{}(1,-2)(1.8,-1.4)

\rput[0,0](0.8,1.4){\foo $\bullet\bullet\bullet$}
\rput[0,0](0.4,1.1){\foo $\bullet\bullet\bullet$}

\rput[0,0](0.7,0.7){\foo $\bullet$}
 \rput[0,0](0.2,0.2){\foo$\bullet$}

 \rput[0,0](0.2,-0.4){\foo$\bullet\;\;\;\;\bullet$}
 \rput[0,0](0.2,-0.6){\foo$\bullet\;\;\;\;\bullet$}
  \rput[0,0](0.2,-0.8){\foo$\bullet\;\;\;\;\bullet$}

  \rput[0,0](0.2,-1.4){\foo$\bullet\;\;\;\bullet$}
 \rput[0,0](0.4,-1.6){\foo$\bullet$}
  \rput[0,0](0.2,-1.8){\foo$\bullet\;\;\;\bullet$}

  \rput[0,0](1.6,1.2){\foo$\bullet$}
 \rput[0,0](1.4,0.8){\foo$\bullet$}
  \rput[0,0](1.2,0.4){\foo$\bullet$}

   \rput[0,0](1.5,0.1){\foo$\bullet$}
 \rput[0,0](1.5,-0.4){\foo$\bullet$}
  \rput[0,0](1.2,-0.2){\foo$\bullet$}
  \rput[0,0](1.2,-0.6){\foo$\bullet$}

  \rput[0,0](1.6,-0.8){\foo$\bullet$}
 \rput[0,0](1.4,-1.2){\foo$\bullet$}
  \rput[0,0](1.2,-1.6){\foo$\bullet$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

 \item[1.11]       Demostrar       que      el
n\'umero $ 111+222^2+333^3+444^4+555^5$   no   es   un   cuadrado
perfecto.

\item[1.12]   Hallar   el   mayor   factor   primo  del  n\'umero:
$3^{14}+3^{13}-12$.

\item[1.13]  Demostrar  que  $11^{10}-1$  es  m\'ultiplo  de  100.

\item[1.14] ?`Cu\'antos n\'umeros \underline{cuadrados perfectos}
hay entre\  \ $5^4 \ \  \mbox{ y } \ \ 4^5?$

\item[1.15]  Alberto,  Benito  y  Cecilio  son:  abogado, m'edico
e ingeniero,   aunque   no   necesariamente   en  ese  mismo
orden.

El  m'edico  quizo  ver  al abogado, pero le dijeron que se
hab\'ia ido     de    vacaciones    con    su    amigo    el
ingeniero.

El    ingeniero    gana    m\'as    dinero    que   el   m\'edico.
Cecilio     no     ha     oído    hablar    nunca    de    Benito.

Benito          gana          m\'as          que          Alberto.

?`Cu\'al      es      la      profesi\'on      de     cada uno?

\item[1.16]  Un nadador tarda 5 minutos en nadar entre dos islas
de un        r\'io,       ayudado       por       la corriente. Al
regresar,   nadando   contra  corriente,  tarda 15  minutos. ?`
Cu\'anto   tardar\'ia   si   no   hubiese corriente alguna?

\item[1.17]  Se  tienen  nueve bolas, todas aparentemente iguales,
pero  se  sabe  que  hay  una  que  pesa menos que las dem\'as. Se
dispone,  adem\'as de una \linebreak balanza de platillos iguales,
pero no se tienen  pesas.  ?`Es  posible  identificar  la  bola
diferente, en, \underline{a lo m\'aximo}, dos pesadas?

\item[1.18] En un caj\'on hay 12 pares de medias blancas, 12 pares
de medias negras, 12 pares de medias azules,12 pares de media
rojas y 12 pares de medias grises. Falla la luz, y no podemos ver
el color de las medias.

?`Cu\'al  es  el  n\'umero m\'inimo de calcetines que debemos sacar
para \textbf{tener la seguridad }que entre ellos habr\'a, al menos,
un par del mismo color?

\item[1.19]?`Qu\'e altura tiene un \'arbol, que es 2 metros m\'as
corto que   un   poste   de   altura   triple   de   la   del
\'arbol?

\item[1.20]  ?`Cu\'al  es  el \underline{mayor n\'umero de dos
cifras} que   es   igual   al  cuadrado  de  la  cifra  de  sus
unidades?

\item[1.21]  Se  tiene  un  n\'umero  de  dos  cifras, digamos
$ab$. Resulta  que  $ab$ \ \ excede \ \ a  \ \ $ba$ \ \ en un \ \
20\% \ \ de \ \ $ba$.

?`Cu\'anto   valen   \ \ $ a$ \ \ y \ \  $b$?

\item[1.22]Calcular  $3^x+3^{-x}$,      sabiendo
que  $9^x+9^{-x}=62$

\item[1.23]  ?`Cu\'al  es el n\'umero de dos cifras que es igual
al doble      del      producto      de      sus      dos cifras?

\item[1.24]  Un  se\~nor  lleg\'o  hasta  un  puente  ferroviario
y empez\'o a correr por \'el. Cuando hab\'ia recorrido $\frac{3}{8}$
del  puente oy\'o el silbato de un tren. Calcul\'o \linebreak
inmediatamente: si  retrocedo  al  comienzo llegar\'e exactamente en
el momento en que el tren entre en el puente, corriendo a mi
velocidad de $10\;Km$, y si  corro al final, a esta velocidad,
llegar\'e all\'a al mismo tiempo   que   el  tren.  ¿En qu\'e
velocidad  marcha  el tren?

\item[1.25]   Los   lados $a$ y $b$ de  un  tri\'angulo
miden, respectivamente, $20 \;cm$ y  $8 \;cm$ ¿Cu\'al es
la menor medida del tercer   lado   $c$,   sabiendo   que   es   un
n\'umero natural?

\item[1.26]  El  semi-perímetro de un tri\'angulo is\'osceles mide
$20\;cm$.  Hallar la longitud de los lados, sabiendo que uno de ellos
es  $\frac{2}{3}$  de  la  suma de los otros dos, que son iguales.

\begin{minipage}{6cm}\item  [1.27]  En  la  figura  se  tiene:\\  $DCBE$ es un
rect\'angulo;\\ $DC=48 cm$; \\ $\sphericalangle ACB=30^\circ$;\\ $
\sphericalangle ADE=30^\circ$.\\ Hallar $AB$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{pspicture}(-4,-4)(3,2)%\psgrid


\psline[linewidth=1pt]{}(-3,-3)(-3,0)
\psline[linewidth=1pt]{}(-3,-3)(0,-3)
\psline[linewidth=1pt]{}(-3,0)(0,0)
\psline[linewidth=1pt]{}(0,0)(0,-3)
\psline[linewidth=1pt]{}(-3,0)(0,1.5)
\psline[linewidth=1pt]{}(0,0)(0,1.5)
\psline[linestyle=dotted]{}(-3,-3)(0,1.5)
\psarc(-3,-3){.5}{0}{58}
\psarc(-3,0){.5}{0}{28}
\psline(-.2,-3)(-.2,-2.8)(0,-2.8)
\psline(-2.8,0)(-2.8,-.2)(-3,-.2)
\psline(0,-.2)(-.2,-.2)(-.2,.2)(0,.2)

\rput(-3.2,0){\foo$D$}
\rput(0.2,1.7){\foo$A$}
\rput(0.2,0){\foo$E$}
\rput(0.2,-3){\foo$B$}
\rput(-3.2,-3){\foo$C$}
\rput(-2.1,-2.6){\foo$60^o$}
\rput(-2.1,.2){\small{\foo$30^o$}}


\end{pspicture}
\end{minipage}


\begin{minipage}{6cm}
\item[1.28]  En un estrecho callej\'on, de anchura desconocida, es
colocada  una  escalera,  con  su  pie  en  un  punto  P, entre las
paredes.  Si la apoyamos sobre la pared de la derecha, la escalera
forma  un  \'angulo  de  $45^{\circ}$  con  el suelo. Apoy\'andola
sobre  la otra pared, el \'angulo que se forma es de $75^{\circ}$,
como  indica  la figura. Adem\'as la altura del punto R es de 4 m.
Hallar    el    ancho    del    callej\'on.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,4.2)%\psgrid
\psline[doubleline=true](0,4.2)(0,0)
\psline[doubleline=true](0,0)(4,0)
\psline[doubleline=true](4,0)(4,4.2)
\psline{*-*}(0,4)(1.8,0)
\psline[showpoints=true](4,3.5)(1.8,0)
\psline[showpoints=true](4,3.5)(1.8,0)
\psdots(0,0)
\psdots(4,0)
\rput(0.5,0.5){\foo$75^o$}
\rput(2.8,0.5){\foo$45^o$}
\rput(-0.3,4){\foo$R$}
 \rput(4.3,3.5){\foo$Q$}
\rput(1.8,-0.2){\foo$P$}
 \rput(-.3,-0.2){\foo$S$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip

\begin{minipage}{6cm}
\begin{pspicture}(0,-3.5)(3.5,3)%\psgrid
\pspolygon(0,2.5)(2,0)(3.5,1)(2,2.5)
\psline(2,0)(2,2.5)
\psline(1.8,2.5)(1.8,2.3)(2,2.3)
\psline(3.3,0.9)(3.18,1.03)(3.32,1.13)
\psline(2.8,-3)(2.8,-2.8)(3,-2.8)
\rput(.8,1){\foo$17$}
\rput(1,2.8){\foo$8$}
\rput(3,1.8){\foo$9$}
\rput(2.9,.35){\foo$x$}
\rput(-0.8,3){\foo\small{ 1.29}}
\pspolygon[linewidth=1.5pt](0,-3)(3,-3)(3,-1)
\psline[showpoints=true](3,-1)(2,-3)
\rput(1.9,-2.3){\foo$ 8\;cm$}
\rput(1,-1.8){\foo$ 13\;cm$}
\rput(2.5,-3.2){\foo$ 4\;cm$}
\rput(3,-0.8){\foo$ R$}
\rput(3,-3.2){\foo$ Q$}
\rput(0,-3.2){\foo$ P$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
    \item[a.] Calcular el valor de $x$.\\[2cm]

    \item[b.]Calcular el área del triángulo $PQR$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\bigskip

\begin{minipage}{6cm}
 \item[1.30]  Hallar el \'area del trapecio cuyas
bases miden $10\;cm$ y  $20 \;cm$, respectivamente; mientras que los
lados no paralelos, $6\;cm$ y $8\;cm$.
\end{minipage}
\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[c]{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(5,2)%\psgrid
\pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(0.5,1.5)(3,1.5)(5,0)(0,0)
\rput(0.1,.9){\foo$ 6$}
\rput(1.8,1.8){\foo$ 10$}
\rput(4.2,.9){\foo$ 8$}
\rput(2.5,-0.2){\foo$ 20$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\hspace{0.5cm}

 \item[1.31]  A  300  metros  de  una carretera
rectil\'inea hay un campamento  escolar,  $C_{1}$.  En la
carretera y a 500 metros del campamento   $C_{1}$,  hay  otro
campamento,  $C_{2}$.  Se  desea construir  una  cafeter\'ia,  a
orillas de la carretera, y a igual distancia   de   cada
campamento.  Hallar  la  distancia  de  la cafeter\'ia a cada
campamento.

\item[1.32]  A  ambas  orillas de un r\'io, de 40 metros de ancho,
hay  dos palmeras, una frente a la otra. Las alturas de las palmeras
son  de  8\;  y 12 metros, respectivamente. En la parte alta de cada
palmera   se   encuentran  sendos  p\'ajaros  que, s\'ubitamente,
descubren  un  pez,  en  la  superficie  del  agua entre  las dos
palmeras.  Los  p\'ajaros  se  lanzan  a  la  vez y con la misma
velocidad,  alcanzando  al pez, al mismo tiempo. ?`A qu\'e distancia
del   pie   de   la   palmera   m\'as   alta apareci\'o el  pez?

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
\item[1.33] El \'area del trapecio $ABCD$ es de $210\;cm^2$. Adem\'as,
la base mayor $AB$ mide $52\;cm$, mientras que la base menor $CD$ mide $39\;
cm$.  Si  $BC$  mide  $12 \;cm$,  ¿cu\'anto  mide  $DA$?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}[c]{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(5,2)%\psgrid
\pspolygon[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1.5)(4.2,1.5)(5,0)(0,0)
\rput(0.1,0.8){\foo$ 12$}
\rput(1,1.7){\foo$ C$}
\rput(4.2,1.7){\foo$ D$}
\rput(2.5,1.7){\foo$ 39$}
\rput(4.8,.8){\foo$ ?$}
\rput(5,-.2){\foo$ A$}
\rput(0,-.2){\foo$ B$}
\rput(2.5,-0.2){\foo$ 52$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\vspace{0.5cm}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.34]  Un  muchacho,  queriendo  subir  hasta el borde de una
tapia,   consigui\'o   una   escalera,  que  adosada  verticalmente
result\'o  tener  la  misma altura que la tapia. En vista de ello,
puso  un caj\'on de $20\;cm$ de alto, separado $1\;m$ de la tapia, con
lo  que la escalera, \linebreak apoyada en el caj\'on, llegaba justo
hasta el borde  de  la  tapia.  ¿Qu\'e  altura  ten\'ia  la tapia?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,5)%\psgrid
 \psline(3.4,0)(0,0)(0,5)(3,.6)
 \psline(2.6,0)(2.6,.6)(3.4,.6)(3.4,0)
\rput(4,0.3){\foo$ 20\;cm$}
 \rput(0.5,-0.4){\foo$ 1\;m$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{minipage}{6cm}
 \item[1.35] Cada uno de los cuadrados de la figura tiene de lado
$1\;cm$.  ¿Cu\'al es el \'area del rect\'angulo $ABCD$?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1)(5.5,4)%\psgrid
\pspolygon[linewidth=1.5pt](0,1)(0,3)(4,3)(4,1)
\pspolygon[linewidth=1.5pt](0,1)(4,3)(5,1.5)(1,-0.5)
\psline(2,3)(2,1)
\psline(.2,1)(.2,1.2)(0,1.2)
\psline(3.8,1)(3.8,1.2)(4,1.2)
\psline(.2,3)(.2,2.8)(0,2.8)
\psline(1.175,-.4)(1.065,-.24)(.9,-.33)
\psline(4.81,1.42)(4.71,1.57)(4.87,1.67)
\rput(4,3.2){\foo$B$}
\rput(5.2,1.5){\foo$C $}
\rput(4,0.6){\foo$E $}
\rput(1,-0.8){\foo$ D$}
\rput(-0.3,1){\foo$A $}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.36] En la figura, tenemos:\\

$AC=3;\\BC=4;$\\
$AD=12;\\          \overline{AC}\perp\overline{BC}$\\
$\overline{AD}\perp \overline{AB};\\ \overline{DE}\perp
\overline{BE}$.\\

Hallar el coseno del \'angulo $EBD$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{pspicture}(-6.5,-.5)(-.5,6.5)%\psgrid
\pspolygon[linewidth=1.5pt](-6,0)(-3.5,0)(-6,2)%
\pspolygon[linewidth=1.5pt](-3.6,0)(-1,6)(-1,0)
\psline[linewidth=1.5pt](-6,2)(-1,6)
\psarc(-3.6,0){.5}{135}{180}
\psarc(-3.6,0){.6}{70}{135}
\psarc(-3.6,0){.5}{0}{70}
 \rput(-6.2,2){\foo$A$}
\rput(-6.2,1){\foo$3 $}
\rput(-6.2,-.3){\foo$C$}
\rput(-5,-0.3){\foo$4 $}
\rput(-3.6,-.3){\foo$B$}
\rput(-1,-.3){\foo$E $}
\rput(-1,6.3){\foo$D$}
\rput(-4,4){\foo$12$}
\rput(-2.9,0.3){\foo$\alpha $}
\rput(-4.3,0.3){\foo$\beta $}
\rput(-3.7,.8){\foo$\gamma $}
\pspolygon[](-5.8,2.2)(-5.6,2)(-5.8,1.8)(-6,2)
%\rput[0,0](-7.5,5){\foo\small 1.36}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hspace{.5cm}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.37]  En  una  parcela  cuadrada  de  $750 \;m$  de  lado, la
Comisi\'on   de   Urbanismo  ha  decidido  que  solamente  ser\'an
edificables  las  zonas  rayadas,  que  son exactamente iguales. La
parte  no  edificable  corresponde  a  los  $\frac{7}{12}$  de  la
parcela.  En  la  parte central de esta zona ir\'a una avenida
$\overline{AB}$, tal  como  se  se\~nala  en  el  dibujo. ¿Qu\'e
longitud tendr\'a la avenida?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6.5,-1.5)(-2.5,2.5)%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=2pt](-6,-1)(-6,0.5)(-3,-1)%
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchsep=2pt](-6,2)(-3,2)(-3,0.5)%
\psline(-6,2)(-6,0.5)
 \psline(-3,0.5)(-3,-1)
\psline[showpoints=true,linestyle=dotted](-6,1.3)(-3,-0.3)
\rput(-6.2,1.3){\small{\foo$A$}}
\rput(-2.8,-0.3){\small{\foo$B$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.38]  En  el  rect\'angulo de la figura, $AB=30\;cm$; $DE$,
la mitad  de  de $AE$. Si el \'area rayada es $250\sqrt{3}\;cm^2$,
hallar la longitud de $\overline{AE}$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6.2,-1)(-2.2,2.5)%\psgrid
\pspolygon[showpoints=true](-6,-1)(-6,2)(-4,-1)%
\pspolygon[fillstyle=hlines,showpoints=true,hatchangle=0,hatchsep=5pt](-6,2)(-2,2)(-2,-1)(-4,-1)%
\rput(-6,-1.3){\small{\foo$D$}}
\rput(-4,-1.3){\small{\foo$E$}}
\rput(-2,-1.3){\small{\foo$C$}}
\rput(-2,2.3){\small{\foo$B$}}
\rput(-6,2.3){\small{\foo$A$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{minipage}{6cm}
\item[1.39]    En    el   dibujo   tenemos   cuatro tri\'angulos
rect\'angulos.  El  mayor  tiene  sus  catetos  de  $9$ y  $8\;cms$,
respectivamente.  Los  catetos  del  mediano  miden  $6$ y  $8\;cms$,
mientras  que los dos tri\'angulo menores (que son congruentes) tienen
sus  catetos de $3$ y $4\;cms$, respectivamente. ¿Qué relación hay  entre
la zona rayada en una forma y la zona rayada en forma distinta?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-3)(4.6,3)%\psgrid
\psline[linewidth=0.04cm](3.6,0.0)(3.4,0)(3.4,-0.2)
\psline[linewidth=0.04cm](2.6,-2.6)(2.6,-2.4)(2.8,-2.4)
\psline[linewidth=0.04cm](1.4,-1.6)(1.4,-1.4)(1.2,-1.4)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.032,hatchangle=0,hatchsep=0.25](1.6177028,-2.6085672)(2.8177028,-2.6085672)(2.8177028,-1.0085672)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.032,hatchangle=0,hatchsep=0.25](2.3977027,-0.20856728)(3.5977027,-0.20856728)(3.5977027,1.3914328)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.032,hatchangle=0,hatchsep=0.25](3.219404,2.5880244)(0.019407151,2.5925672)(0.016,0.19256966)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.032,hatchangle=0,hatchsep=0.25](1.2177027,1.9914328)(1.2177027,-1.6085672)(4.417703,-1.6085672)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=solid](1.2177027,1.1114327)(1.2177027,1.9714327)(1.6977026,1.4514327)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=solid](2.3577027,-1.6085672)(2.8177028,-1.0085672)(2.8177028,-1.6085672)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=solid](2.8177028,0.19143274)(3.177703,-0.20856728)(2.3977027,-0.20856728)(2.7577028,0.27143273)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}



\begin{minipage}{6cm}
\item[1.40]  Un  paj\'aro  carpintero  marca su camino a picotazos
\linebreak descendiendo  el  tronco  de un \'arbol, comenzando 20
pies arriba del  nivel del suelo. El p\'ajaro sigue una trayectoria
en espiral (h\'elice) y da la vuelta 7 veces en la circunferencia
del \'arbol (de   3  pies \linebreak aproximadamente).  Determinar
la distancia total recorrida         por        el        p\'ajaro
carpintero.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6.5,-.5)(-4.4,5)%\psgrid
\pscurve[](-6,0)(-5.7,3)(-6,4)%
\pscurve[](-6,4.3)(-5.8,4)(-5.5,5)%
\pscurve[](-5,5)(-5,3.5)(-4.7,4.5)%
\pscurve[](-4.5,3.9)(-5,2)(-4.5,0)%
\psline[linestyle=dotted](-5.8,3.5)(-5.3,3.8)
\psline[linestyle=dotted](-5.7,2.8)(-4.7,3.2)
\psline[linestyle=dotted](-5,2.2)(-5.8,1.8)
\psline[linestyle=dotted](-4.8,1)(-6,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\bigskip

\item[1.41]  Un m\'etodo para encontrar la altura de un objeto es:
colocar  un espejo en el suelo y despu\'es, situarse de
manera que la  parte m\'as alta pueda verse en el espejo. ¿Qu\'e
altura tiene una  torre,  si  una  persona de $1.5\;m$. de altura
observa la parte superior de la torre, cuando el espejo est\'a a
$120\;m$ de la torre y la  persona est\'a  a  $6\;m$  del  espejo?

\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-1)(1.4,2.2)%\psgrid
\pspolygon[](-6,0)(-2,0)(-6,2)%
\pspolygon[](1,1)(-2,0)(1,0)%
\psline[linestyle=dotted](-2,2)(-2,0)
\psline[]{->}(-6,2)(-2,0)
\psline[]{->}(-2,0)(1,1)
\rput(-4,-0.3){\foo $B$ }
\rput(-.5,-0.3){\foo $b$}
\rput(-6.3,1){\foo H}
\rput(1.2,0.5){\foo h}
\psline{<-}(-6,-0.3)(-4.3,-0.3)
\psline{->}(-3.7,-.3)(-2,-.3)
\psline{<-}(-2,-0.3)(-.8,-.3)
\psline{->}(-.2,-.3)(1,-.3)
\end{pspicture}
\end{center}


 \item[1.42]  Un  pino  de  $7.2\;m$ de altura proyecta una
sombra de $11.2\;m$.  Dos  pajaritos se posan en dicho \'arbol,
uno en el tope  y  otro,  un poco m\'as abajo (en la misma
vertical). Si las distancias  entre  las  sombras que esos
pajaritos proyectan en el suelo  es  de  $4.2 \;m$,  ¿Cu\'al  es la
distancia  entre los dos pajaritos?

\begin{minipage}{6cm}
 \item[1.43]  En  el  cuadrado  $ABCD$,  $M$  es el  punto  medio  de
$\overline{CD};$  $MR=4RA$ y $AD=10\;cm.$ Hallar la distancia de $R$
al   lado $\overline{CB.}$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-.5)(-2.5,3.2)%\psgrid
\psframe[](-6,0)(-3,3)
\psline(-6,1.5)(-3,3)
\psline(-4,2.5)(-4,0)
\rput(-4.2,2.7){\foo $R$}
\rput(-4,-0.3){\foo $N$}
\rput(-2.8,-0.3){\foo $B$}
\rput(-6.3,-0.3){\foo $C$}
\rput(-6.3,3){\foo $D$}
\rput(-2.8,3){\foo $A$}
\rput(-6.3,1.5){\foo $M$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.44] En la figura al lado, $ABCD$ es un cuadrado de \'area
$4\; cm^2$;\\   $E$  es  el  punto  medio  de  \ \ $\overline{AD}$ \
\ y \\ $\overline{CF} \perp \overline{BE}$.\\   ¿Cu\'al   es   el
\'area del cuadril\'atero $CDEF$?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-.5)(-2.5,3.5)%\psgrid
\psframe[](-6,0)(-3,3)%
\psline(-6,0)(-4.5,3)
\psline(-5.5,1)(-3,0)
\rput(-6,3.2){\foo $A$}
\rput(-4.5,3.2){\foo $E$}
\rput(-6,-.3){\foo $B$}
\rput(-5.7,1.1){\foo $F$}
\rput(-3,3.2){\foo $D$}
\rput(-3,-0.3){\foo $C$}
\pspolygon(-5.3,0.9)(-5.4,0.7)(-5.6,0.8)(-5.5,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\item[1.45] Dividimos los lados $\overline {PQ}$ y $\overline
{PS}$,  del  rectángulo  $PSRQ$,  en cuatro partes
iguales, respectivamente,   y  trazamos,  por  los  puntos  de
divisi\'on, segmentos  paralelos  a  $\overline{PQ}$ y $\overline{PS}$,
respectivamente.  Finalmente,  unimos $M$ (punto
medio de $\overline {QR}$) con $P$. Hallar el cociente entre el \'area
del rect\'angulo $PSQR$ y el \'area del
trapecio rayado.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1.616)(6.416,1.616)
\psline[linewidth=0.032cm](1.6,1.6)(1.6,-1.6)
\psline[linewidth=0.032cm](3.2,1.6)(3.2,-1.6)
\psline[linewidth=0.032cm](4.8,1.6)(4.8,-1.6)
\psline[linewidth=0.032cm](0.0,0.8)(6.4,0.8)
\psline[linewidth=0.032cm](0.0,0.0)(6.4,0.0)
\psline[linewidth=0.032cm](0.0,-0.8)(6.4,-0.8)
\psframe[linewidth=0.032,dimen=outer](6.4004836,1.6)(0.0,-1.6)
\psline[linewidth=0.032cm](0.0,-1.6)(3.2,1.6)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=hlines*,hatchwidth=0.032,hatchangle=45,hatchsep=0.25](1.6,0.0)(3.2,0.0)(3.2,0.8)(2.4,0.8)(2.4,0.8)
\rput(0,-1.9){$P$}
\rput(6.4,-1.9){$S$}
\rput(0,1.9){$Q$}
\rput(6.4,1.9){$R$}
\rput(3.2,1.9){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{minipage}{6cm}
 \item[1.46] Los dos cuadrados de la figura, tienen
$4\; cm^2$ y $25\; cm^2$ de \'area, respectivamente.
¿Cu\'al es el \'area de la zona sombreada?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(5.5,2.5)%\psgrid
\pspolygon(2,-1)(2,2)(5,2)(5,-1)
\pspolygon[](0.5,-1)(2,-1)(2,0.5)(0.5,0.5)
\psline(0.5,-1)(5,2)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchangle=0](0.5,-1)(2,-1)(2,0)
\rput(2.2,2.2){\foo $D$}
\rput(5,2.2){\foo $C$}
\rput(2.2,-0.1){\foo $E$}
\rput(2.2,-1.3){\foo $A$}
\rput(0.4,-1.3){\foo $F$}
\rput(5,-1.3){\foo $B$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.47] En el tri\'angulo $ABC$ se cumple: $AC=BC$;\ \  $F,\ \  E$\ \
y\ \ $N,$ \ \ son los puntos medios de $\overline{AB,}$\ \
$\overline{AC}$\ \  y \ \ $\overline{BC}$,\ \  respectivamente. Si
el \'area del tri\'angulo $ABC$ es
$\displaystyle\frac{1600}{3}\;\;cm^2$, hallar el \'area del trapecio
$AFME$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(5.5,2.5)%\psgrid
\pspolygon[showpoints=true](0,-1)(2.5,2)(5,-1)
\pspolygon[fillstyle=hlines,showpoints=true,hatchangle=0](0,-1)(1.3,0.5)(2.5,0.5)(2.5,-1)
\psline[linestyle=dotted](2.5,2)(2.5,0.5)
\psline[linestyle=dotted,showpoints=true](3.7,0.5)(2.5,0.5)
\rput(2.5,2.2){\foo $C$}
\rput(2.7,0.7){\foo $M$}
\rput(4.1,0.5){\foo $N$}
\rput(.9,0.5){\foo $E$}
\rput(0,-1.3){\foo $A$}
\rput(2.5,-1.3){\foo $F$}
\rput(5,-1.3){\foo $B$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.48] Es posible  la situación indicada en la figura, en la cual $\overline{AS}$ es la bisectriz del
\'angulo $BAC$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-1.5)(5.2,1)%\psgrid
    \psarc[arcsepB=2pt,doubleline=true](2.5,0.5){.5}{215}{330}
    \pspolygon[showpoints=true](0,-1)(2.5,0.5)(5,-1)
    \psline[showpoints=true](2.5,-1)(2.5,0.5)
    \rput(-0.3,-1.3){$B$}
    \rput(2.5,-1.3){$S$}
    \rput(5,-1.3){$C$}
    \rput(2.6,0.8){$A$}
    \rput(0.3,-.2){$x+9$}
    \rput(1.2,-1.3){$24$}
    \rput(3.8,-1.3){$30$}
    \rput(4.2,-.2){$2x$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.49] El lado del cuadrado  $ABCD$ mide $28\; cm^2$; $DE=
21 \; cm$. Hallar $EF$ y $FC$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(3.2,1.5)%\psgrid
\pspolygon[showpoints=true](0,-2)(0,1)(3,1)(3,-2)
\psline[showpoints=true](0,-1.3)(3,1)
\psline[showpoints=true](0,1)(3,-2)
\rput(0,1.2){\foo $D$}
\rput(-0.2,-1.3){\foo $E$}
\rput(0,-2.2){\foo $A$}
\rput(3,1.2){\foo $C$}
\rput(3,-2.2){\foo $B$}
\rput(1.3,0){\foo $F$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.50] $ABCD$ y $ABEF$ son cuadrados. Si $GH=4$,
calcular $HC$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-2.5)(4.2,0.5)%\psgrid
\pspolygon[showpoints=true](0,-2)(0,0)(4,0)(4,-2)
\psline[showpoints=true](0,-2)(4,0)
\psline[showpoints=true](2,0)(4,-2)
\psline[showpoints=true](2,0)(2,-2)
\rput(0,-2.3){\foo $F$}
\rput(0,0.3){\foo $E$}
\rput(2,0.3){\foo $B$}
\rput(4,0.3){\foo $C$}
\rput(2,-2.3){\foo $A$}
\rput(4,-2.3){\foo $D$}
\rput(1.8,-0.8){\foo $G$}
\rput(2.7,-0.4){\foo $H$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.51] $ABCD$ es un trapecio, tal que: \\ $\overline{AC} \perp
\overline{AD}$;\\   $\overline{AB} \| \overline{DC}$.\\
 Si $CD=2\;cm$ y $CD = 15 \;cm$, \\ hallar la altura del trapecio.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-2.5)(4.2,1.5)%\psgrid
\pspolygon[showpoints=true](0,-2)(1.5,1)(2.5,1)(4,-2)
\psline[showpoints=true](1.5,1)(4,-2)
\psline[linestyle=dotted](1.5,1)(1.5,-2)
\psline[linestyle=dotted](2.5,1)(2.5,-2)
\pspolygon[](1.4,0.8)(1.55,0.67)(1.7,0.8)(1.5,1)
\rput(0,-2.3){\foo $D$}
\rput(4,-2.3){\foo $C$}
\rput(1.5,1.3){\foo $A$}
\rput(2.5,1.3){\foo $B$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item[1.52] Juan tiene 40 a\~nos, y la suma de las edades de sus
tres hijos es 22 a\~nos.? `Dentro de cu\'antos a\~nos la edad de
Juan ser\'a la suma de las edades de sus dos hijos?

\item[1.53] En un grupo de vacas y gallinas, el n\'umero de
cabezas menos 53 es igual a un cuarto del n\'umero total de patas.
?`Cu\'antas gallinas hay?

\item[1.54] Regoc\'ijanse los monos, divididos en dos bandos:\\ su
octava parte, al cuadrado, en el bosque se solaza; con alegres
gritos, doce, atronando el campo est\'an. ?` Sabes cu\'antos monos
hay en la manada total?.

 Nota: Alguien que pasaba por el lugar dijo: `` con certeza, hay m\'as de
30 monos, ah\'i ".

\item[1.55] Un profesor de gimnasia r\'itmica solicita a sus
alumnos que se agrupen formando un cuadrado de $x$ filas. Se da
cuenta, entonces, que le sobran 18 gimnastas. Luego, ordena que se
forme una nueva fila \ \ y \ \ una nueva columna, pero le quedan 23
lugares sin llenar. ?` Cu\'antos alumnos constitu\'ian el grupo?

\item[1.56] Si quieres saber mi edad, ten en cuenta que:\\ la
diferencia entre el triple de la edad que ten\'ia hace hace tres
a\~nos\ \  y la que tendr\'e dentro de tres años, es igual a la edad
que tengo actualmente. ?`Cu\'al es mi edad ?

\item[1.57] Resolver el sistema \begin{displaymath}  \left\{
\begin{array}{ll}
2^{x-y}=32& \\
4^{x+y}=\frac{1}{64}&
\end{array} \right.
\end{displaymath}

\item[1.58] Sean \ \ a \ \ y\ \  b,\ \  n\'umeros reales \underline{distintos},
tales que:
\begin{displaymath}  \left\{
\begin{array}{ll}
a^2=6b+5ab& \\
b^2=6a+5ab&
\end{array} \right.
\end{displaymath}
\lis{ \item[i)] Hallar $a+b$
        \item[ii)]Hallar $ab$}

\item[1.59] Si $x^5+5x^4+10x^3+10x^2-5x-9=0$, \qquad $x\neq -1.$
 Calcular $(x+1)^4$

 \item[1.60] Si x es un entero positivo y $$x(x+1)(x+2)(x+3)+1=131^2$$
?`Cu\'al es el valor de $x$ ?

\item[1.61] Si \begin{displaymath}  \left\{
\begin{array}{ll}
x^3+y^3=400& \\
x^2y+y^2x=200,&
\end{array} \right.
\end{displaymath}
hallar $x.y$



\begin{minipage}{6cm}
\item[1.62] En un blanco como en el dibujo, una cierta
puntuaci\'on es dada si la flecha cae en la regi\'on $A$ y
otra, si la flecha cae en la regi\'on $B$. Andrea lanzó 5
flechas: 2 cayeron en la región $B$, y  3 en la regi\'on $A$,
totalizando 24 puntos.  Por su parte, Mar\'ia  también lanz\'o 5
flechas: 2
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%\psgrid
\pscircle[showpoints=true](2,2){2}
\pscircle[showpoints=true](2,2){1}
\rput(3.5,2.3){\foo $B$}
\rput(2,2){\foo $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\noindent cayeron en la regi\'on $A$ y 3 en la regi\'on $B$,
y obtuvo 26 puntos. ¿Cu\'antos puntos son atribuidos por una flecha que cae
en la regi\'on $B$?

\item[1.63] Rosa  y  Elena compraron \underline{idénticas}
cajas de escritorio. Rosa utiliza la suya para escribir cartas
 de \underline{una} hoja,   y Elena us\'o la suya para escribir cartas
 de \underline{tres} hojas. Rosa utiliz\'o todos los sobres y le
 sobraron 50 hojas, mientras que Elena emple\'o todas las hojas de
 papel y le sobraron 50 sobres. ¿Cu\'al era el n\'umero de
 hojas de papel en cada caja?

 \item[1.64] En cierto examen, todas las preguntas tienen el mismo
 valor. Mar\'ia respondi\'o 9, de las primeras 10 preguntas,
 correctamente. En total obtuvo un puntaje del 50\% en su examen
 ¿Cu\'antas preguntas ten\'ia el examen?

\begin{minipage}{6cm}
 \item[1.65] Juan pose\'ia un terreno rectangular $ABCD$,  de
 $1800\; m^2$, del cual \underline{cedi\'o} el lote $ADEF$, de $10\;m$
 de ancho, a \underline{cambio} del lote $CEGH$, de $30\;m$ de largo,
 conforme est\'a indicado en la figura, y de modo que $ABCD$ y $BHGF$
 tuviesen la \underline{misma \'area}. Hallar el per\'imetro del
 terreno $ABCD$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-2.5)(3.5,3.5)%\psgrid
\pspolygon[](0,0)(0,3)(3,3)(3,0)
\pspolygon[](1,0)(1,-2)(3,-2)(3,0)
\psline[](1,3)(1,0)
\psline[]{<->}(0,1)(1,1)
\psline[]{<->}(2,0)(2,-2)
\rput(1.9,-1){\foo $30\; m$}
\rput(0.4,1.3){\foo $10 \;m$}
\rput(-0.2,-0.3){\foo $D$}
\rput(0.8,-0.3){\foo $E$}
\rput(3.2,-0.3){\foo $C$}
\rput(0.8,-2.2){\foo $G$}
\rput(3.2,-2.2){\foo $H$}
\rput(-0.2,3.3){\foo $A$}
\rput(0.8,3.3){\foo $F$}
\rput(3.3,3.3){\foo $B$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\bigskip

\begin{minipage}{6cm}
 \item[1.66] Hallar $\sphericalangle\; TPR$, sabiendo que $\overline{PT}$
 es tangente a la circunferencia; $O$, el centro de dicha
 circunferencia y $\sphericalangle\; RQT = 66^0$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(5.5,4.5)%\psgrid
\pscircle[showpoints=true](2,2){1.5}
\pspolygon[showpoints=true](0.5,2)(5,2)(2.7,3.3)(2.5,0.5)
\psline[](1,4.3)(5.5,1.7)
\psarc(5,2){.5}{155}{180}
\rput(4,2.2){\foo ?}
\rput(2.8,3.6){\foo $T$}
\rput(5.2,2.1){\foo $P$}
\rput(0.2,2){\foo $R$}
\rput(2.5,0.2){\foo $Q$}
\rput(2,2.3){\foo $O$}
\psdots(2,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.67] En el siguiente dibujo de un terreno, $AOED$ \ \ y\ \
$OBCE$\ \ son cuadrados, de lado $10 m;$ \ \ $\widehat{AE}$\ \  y\ \
$\widehat{BE}$ son arcos de circunferencia, de centros $D$ y $C$,
respectivamente. Se quiere sembrar grama en la zona rayada. Si cada
metro cuadrado de grama cuesta $50 \; Bs$. ?`Cu\'anto es el costo
total del trabajo requerido?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(1.6,-3)(5.44,1.0)%\psgrid
\pscircle[linewidth=0.05,dimen=outer,fillstyle=vlines,hatchangle=0.0](3.57,-0.89){1.81}
\psline[linewidth=0.05](3.57,0.94)(3.57,-.89)
\psframe[linewidth=0.05,dimen=outer](5.38,0.94)(1.78,-0.88)
\pswedge[linewidth=0.05,fillstyle=solid](1.78,0.92){1.78}{270.0}{0.0}
\pswedge[linewidth=0.05,fillstyle=solid](5.37,0.91){1.79}{180.0}{270.0}
\psdots(3.58,0.92)
\psdots(5.36,0.92)
\psdots(5.36,-0.88)
\psdots(1.78,-0.86)
\psdots(1.78,0.92)
\psdots(3.57,-0.85)
\rput(1.5,-1.15){\foo $A$}
\rput(5.6,-1.15){\foo $B$}
\rput(5.6,1.2){\foo $C$}
\rput(1.5,1.2){\foo $D$}
\rput(3.6,1.2){\foo $E$}
\rput(3.6,-1.15){\foo $O$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.68] En la figura, $\overline{MP}$,  $\overline{MR}$  y
 $\overline{RQ}$  son tangentes a la circunferencia de centro
$O$, en los puntos $P,\; T $ y $Q$, respectivamente. Si $TR=2cm, \; MT=8cm$  y $\overline{PQ}$  es el
di\'ametro de la circunferencia de centro $O$, hallar el radio de
dicha circunferencia.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
    \begin{pspicture}(0,-1.8998437)(4.2828126,3.2692187)
        \pswedge[linewidth=0.04](2.1409376,-1.4092188){1.82}{0.0}{180.0}
        \psline[linewidth=0.04,dotsize=0.07055555cm 2.0]{*-*}(3.9409375,-1.4292188)(3.9409375,-0.56921875)(0.3009375,2.7707813)(0.3009375,-1.3892188)(0.3409375,-1.3692187)
        \psdots[dotsize=0.12](3.3809376,-0.04921875)
        \psdots[dotsize=0.12](3.9409375,-0.5492188)
        \psdots[dotsize=0.12](0.3209375,2.7507813)
        \psdots[dotsize=0.12](2.1609375,-1.3892188)
        \rput(2.1323438,-1.6592188){\foo $O$}
        \rput(3.9323437,-1.6792188){\foo $Q$}
        \rput(3.9423437,-0.23921876){\foo $R$}
        \rput(3.3623438,0.24078125){\foo $T$}
        \rput(0.30234376,3.0807812){\foo $M$}
        \rput(0.29234374,-1.6392188){\foo $P$}
    \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.69] Calcular el \underline{per\'imetro} del tri\'angulo
$ABC$ cuyos v\'ertices son las intersecciones de las \underline{tres
tangentes}  a la circunferencia:  $\overline{AN},\;
\overline{AM}$ y $\overline{CB},$  sabiendo que
$AN=10\;cm.$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
    \begin{pspicture}(0,-1.6)(6.2072535,1.4)%\psgrid
        \pscircle(4.957517,0.0){1.2}
        %\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-4.7316256](4.957517,-1.7053025)
        \psline{*-*}(4.408995,1.0686091)(0.10782451,0.019832484)(4.825475,-1.1733865)(4.825475,-1.1733865)
        \psline{*-*}(4.0397773,-0.98094684)(3.3534915,0.8177782)
        \psdots(3.8405604,-0.38536927)
        %\psdots[dotsize=0.12,dotangle=-34.27041](4.4161115,-1.0679681)
        \psdots(0.10782451,0.019832484)
        \psdots(4.957517,0.0)
        \rput(-0.2,0){\foo $A$}
        \rput(4.3,1.3){\foo $N$}
        \rput(4.8,-1.4){\foo $M$}
        \rput(4,-1.2){\foo $B$}
        \rput(3.5,-0.4){\foo $P$}
        \rput(3.2,1){\foo $C$}
    \end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.70] En el cuadrado $ABCD$, de la figura, hemos trazado dos
semicircunferencias exteriores, una, con di\'ametro $\overline{AB}$  y otra, con di\'ametro $\overline{AD}.$ El punto $A$ divide el
segmento $\overline{PQ}$ en dos segmentos, de longitudes 7 y
23. Hallar la longitud de la diagonal del cuadrado.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
   \begin{pspicture}(0,-2.55)(5.14,2.57)%\psgrid
        \psframe[linewidth=0.04,dimen=outer](5.14,0.87)(1.72,-2.55)
        \psarc[linewidth=0.04](3.43,0.86){1.69}{0.0}{180.0}
        \psarc[linewidth=0.04](1.69,-0.84){1.69}{88.62955}{271.3972}
        \psline[linewidth=0.04cm](0.2,0.01)(4.34,2.25)
        \psdots[dotsize=0.12](1.74,0.83)
        \psdots[dotsize=0.12](4.34,2.25)
        \psdots[dotsize=0.12](0.24,0.03)
        \psdots[dotsize=0.12](1.74,-0.81)
        \psdots[dotsize=0.12](3.4,0.85)
        \rput(1.5,1.1){\foo $A$}
        \rput(5.3,1.1){\foo $B$}
        \rput(5.3,-2.7){\foo $C$}
        \rput(1.5,-2.7){\foo $D$}
        \rput(0,0.1){\foo $Q$}
        \rput(4.6,2.4){\foo $P$}
   \end{pspicture}
   \end{center}
\end{minipage}

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
\item[1.71] La circunferencia de la figura, es tangente a los
lados del cuadrado, de \'area $81 cm^2$. El radio de dicha
circunferencia es de $2 cm$. Expresada el \'area sombreada como
$a+\pi b,$ donde, $ a \ \ \mbox{ y }\ \  b$ son n\'umeros enteros,
?`Cu\'al es el valor de $a$?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(5,5)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=vlines,hatchwidth=0.04,hatchangle=0](0,0)(5,5)
\psframe[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=solid](4.2,4.2)(5,5)
\pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer,fillstyle=solid](4.2,4.2){.8}
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.1cm 0.16cm,dotsize=0.05cm 2.0]{*-}(4.2,5)(4.2,4.2)
\psline[linewidth=0.04cm,linestyle=dashed,dash=0.1cm 0.16cm,dotsize=0.05cm 2.0]{-*}(4.2,4.2)(5,4.2)
\psdots[dotsize=0.12](4.2,4.2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[1.72] Las dos circunferencias de la figura son tangentes
entre s\'i y tangentes a dos rectas perpendiculares. Si el radio de
la mayor es $1\;cm$, ¿cu\'al es el radio de la menor?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
 \begin{center}
    \begin{pspicture}(-.5,-.5)(4,4)%\psgrid
    \pscircle(2,2){2}
    \psline(0,-.5)(0,4)
    \psline(-.5,0)(4,0)
    \psline(-.2,0)(-.2,-.2)(0,-.2)
    \pscircle(0.3432,0.3432){0.3432}
    \psdots(0.3432,0.3432)
    \psdots(0,0.3432)
    \psdots(0.3432,0)
    \psdots(0.5858,0.5858)
    \psdots(2,2)\psdots(0,2)\psdots(2,0)
    \rput(2,-.3){\foo $T$}
    \rput(2,2.3){\foo $O$}
    \end{pspicture}
 \end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item [1.73]Dado un cuadrado $ABCD$, de lado $x$, se construye una
circunferencia que pasa por los v\'ertices $A$ y $D$, y que,
adem\'as, es tangente al lado $\overline{BC}$. Si el radio de la
circunferencia es $5\;\mbox{cm}$, hallar $x$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4.5,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psframe(.8,.4)(4,3.6)
\psdots(2,2)\psdots(.8,.4)\psdots(4,3.6)
\psdots(4,2)\psdots(.8,3.6)\psdots(4,.4)
\rput(.6,3.9){\foo $A$}
\rput(.6,.1){\foo $D$}
\rput(4.2,.1){\foo $C$}
\rput(4.2,3.9){\foo $D$}
\rput(4.2,2){\foo $T$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
{\Huge Es Imposible}

\begin{minipage}{6cm}
\item [1.74] En la figura se tiene:
$\overline{AC}\;\mbox{y}\;\overline{AD}$ son tangentes a la
circunferencia de centro $O$, en los puntos $C\ \ \mbox{y}\ \ D$,
respectivamente. Adem\'as: $EB=12$; $AE=54;\;\overline{AE}\perp\overline{BE};$\linebreak
$\overline{AC}\perp\overline{AD}.$ Hallar el radio de la
circunferencia.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psline{*-*}(0,2)(0,0)(3.6,0)(3.6,.8)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\psline(3.4,0)(3.4,.2)(3.6,.2)
\psdots(2,2)\psdots(2,0)\psdots(0,0)\psdots(3.6,0)
\rput(-.2,2){\foo $C$}\rput(-.2,-.2){\foo $A$}\rput(2,-.2){\foo $D$}
\rput(3.8,-.2){\foo $E$}\rput(3.8,.7){\foo $B$}\rput(2.1,2.1){\foo $O$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item [1.75] La circunferencia de centro $O'$ tiene radio igual a
$1 \; cm$ y es tangente a la circunferencia de centro $O$ ($B$ es el
punto de tangencia) $\overline{O'A}$ es tangente a la circunferencia
de centro $O$ (A es el punto de tangencia). Si $O'A= 3\; cm$, hallar
el radio de la circunferencia mayor.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(5,5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2cm}
\psline(4,2)(4,4)
\pscircle(4,4){0.8485}
\psdots(4,4)\psdots(2,2)\psdots(3.42,3.42)\psdots(4,2)
\rput(2.2,2.2){\foo $O$}\rput(4.2,4.2){\foo $O'$}\rput(4.2,2){\foo $A$}\rput(3.2,3.2){\foo $B$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item [1.76] Hallar el valor de la suma: $$log_{10}(tg\;
1°)+log_{10}(tg\; 2°)+ log_{10}(tg\; 3°)+\cdots+log_{10}(tg\; 89°)$$

\item [1.77] ¿ Cu\'al de las siguientes opciones es la
verdadera?\\
\begin{tabular}{ll}
a. $\sqrt{3}+\sqrt{7}=\sqrt{10}$ & c.
$\displaystyle\frac{3a+b}{3}=a+b$
\\\\

 b.  $-2^4=16$ & d. $\displaystyle\frac{0,039}{1,3}=0.3$\\\\
  e.  El 10\% del (10\% de x) es igual al 1\% de x &
\end{tabular}


\item [1.78] Algui\'en afirm\'o que el n\'umero real $
\sqrt[3]{2+\displaystyle\frac{10}{9}\sqrt{3}}+\sqrt[3]{2-\displaystyle\frac{10}{9}\sqrt{3}}$,
es en verdad, un n\'umero natural. ¿Minti\'o esa persona?

\item [1.79] Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, tal que
$f(x+y)=f(xy),$ para cualesquiera $x\ \ \mbox{e}\ \ y$, en
$\mathbb{R}$. Si, adem\'as, $f(0)=100$, hallar $f(2008)$
\bigskip

\begin{minipage}{6cm}
\item [1.80] Si la curva de la figura tiene por ecuaci\'on
$y=log_{6}\; x,$ hallar el va\-lor del \'area sombreada.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,0)(6,3.3)%\psgrid
\psline{->}(0,0)(0,3)
\psline{->}(-.5,1)(5,1)
\pscurve(.365,0)(.5,0.30685)(.7,0.64332)(.9,0.89463)(1,1)
(1.2,1.18232)(1.4,1.33647)(1.6,1.47)(1.8,1.58778)(2,1.69314)
(2.2,1.78845)(2.4,1.87546)(2.6,1.95551)(2.8,2.02961)(3,2.09861)
(3.2,2.16315)(3.4,2.22377)(3.6,2.28093)(3.8,2.3350)(4,2.38629)
(4.2,2.43508)(4.4,2.4816)(4.6,2.52605)(4.8,2.56861)(5,2.60943)
\psframe[fillstyle=hlines*](2,1)(3,1.69314)
\psframe[fillstyle=hlines*](3,1)(4,2.09861)
\rput(5,2.9){$y=\lg_6(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\bigskip

\item [1.81] Calcular \underline{el producto} de todas las
soluciones de la ecuaci\'on:
$$\left(\dis \frac{2x+3}{3x+2}\right)^2+\dis\frac{2x+3}{3x+2}=0$$

\item [1.82] Calcular el n\'umero de soluciones reales de la
ecuaci\'on
$$x^{100}-4^x.x^{98}-x^2+4^x=0$$

\item [1.83] Utilizando los datos de la siguiente tabla, hallar el
valor de $m$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|l|}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  $x$ & $log_m x$ \\
  \hline
  10 & 1.6610 \\
  60 & 2.9534 \\
  110 & 3.3907 \\
  160 & 3.6610 \\
  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item [1.84] Consideremos 3 trabajadores, $A,\;B,\;\mbox{y}\;C,$
cada uno de los cuales trabaja siempre al mismo ritmo. Trabajando
juntos, $A\; \mbox{y} \; B$ realizan cierto trabajo en 10 d\'ias.
por su parte $A,\;\mbox{y}\;C,$ juntos, demoran 12 d\'ias para
realizar el mismo trabajo. Mientras que $B,\;\mbox{y}\;C,$ necesitan
15 d\'ias para hacerlo. Si $C$ ejecutase el trabajo solito,
¿Cu\'antos d\'ias tardar\'ia?

\item [1.85] Al intentar resolver la inecuaci\'on
$$\dis\frac{4}{x-2}>5,$$
Luisa copi\'o mal el enunciado y, en lugar del 5 escribi\'o otro
entero positivo. Ella trabaj\'o correctamente y obtuvo como
respuesta:\\  $2<x<4$. ¿Cu\'al fue el entero positivo que coloc\'o
en lugar del 5 del enunciado?

\item [1.86]
\begin{enumerate}
 \item[a.-] Un buhonero compra una caja de l\'apices por Bs. 3000.
Decide ganarle, a cada l\'apiz, Bs. 60, pero accidentalmente pierde
5 de los l\'apices de la caja. Sin embargo, al vender el resto de
los l\'apices (al precio que hab\'ia pensado) todav\'ia gana Bs.
600, en total. ¿Cu\'antos l\'apices ten\'ia la caja?

\item[b.-] Jos\'e quer\'ia distribuir, \textbf{igualmente}, entre sus
sobrinos 480 libros. El d\'ia de la repartici\'on faltaron 6
sobrinos, y as\'i, cada uno de los sobrinos presentes recibi\'o
\textbf{18 libros a m\'as} ¿ Cu\'antos son los sobrinos de Jos\'e ?
\end{enumerate}


\item [1.87]\begin{enumerate} \item [a.-] Cu\'al es la \textbf{menor
capacidad} de un estanque que se puede llenar, \textbf{en un
n\'umero entero de minutos}, por cualquiera de las tres llaves, que
vierten:

\begin{enumerate}
\item []la primera, 12 litros por minuto; \item[] la segunda, 18
litros por minuto; \item[] la tercera, 20 litros por minuto.
\end{enumerate}
\item [b.-] Dos cintas, de 36 metros y 48 metros, de longitud,
respectivamente, se quieren dividir en \underline{pedazos iguales},
y de la \textbf{mayor longitud posible.} ¿Cu\'al ser\'a la longitud
de cada pedazo?
\end{enumerate}

\item [1.88] Sobre una mesa hay 16 libros (\textbf{todos diferentes}): 2 de
Aritm\'etica, 5 de Bot\'anica, 2 de Algebra, 3 de Geometr\'ia y 4 de
Zoolog\'ia.
\begin{enumerate}
\item [a.-]Si se me es permitido elegir un libro de Geometr\'ia o
un libro de Biolog\'ia, ¿De cu\'antas maneras puedo hacer mi
elecci\'on?

\item[b.-]Si, ahora, se me permite elegir un libro de Matemática
y un libro de Biolog\'ia, lo puedo hacer, ¿de cu\'antas maneras?
\end{enumerate}

\item [1.89] Para marcar sus p\'ajaros, un criador dispone de
cintas de 10 colores\linebreak  diferentes. Un p\'ajaro marcado debe
tener una cinta en la pata izquierda, en la pata derecha, o en
ambas. Si, a lo sumo, se puede colocar una cinta en cada pata y si
dos p\'ajaros no pueden ser marcados de modo id\'entico, ¿Cu\'al es
el mayor n\'umero de p\'ajaros que pueden ser marcados?

\item [1.90] En un grupo de 15 personas:  5 son m\'edicos, 7 son
ingenieros y 3 son abogados. ¿Cu\'antas comisiones de 5 personas,
podemos formar, cada una constituida por 2 m\'edicos, 2 ingenieros y
un abogado?

\item [1.91] Tenemos  en una mesa 6 libros \textbf{diferentes}, de los
cuales, dos son de Matem\'atica; ¿De cu\'antas formas podemos
colocar los libros, en orden, en un estante, de manera que los de
Matem\'atica queden siempre juntos?

\item [1.92] Si una persona gasta exactamente un minuto para
escribir cada \textbf{anagrama }de la palabra CAPITULO,  ¿Cuánto
tiempo tardar\'a en escribirlos todos, si no debe parar ning\'un
instante para descansar?


\item [1.93] Son dadas dos rectas paralelas. Se marcan 10 puntos
distintos sobre una, y 8 puntos distintos sobre la otra. ¿Cu\'antos
tri\'angulos podemos formar uniendo 3 cualesquiera de esos 18
puntos?

\item [1.94]En un estante tenemos una colecci\'on de libros,
\underline{todos diferentes}: 7 son de Matem\'atica, 5 de F\'isica,
y 10 de Qu\'imica. Pedro debe elegir dos libros de ese estante, con
la condici\'on de que no sean de la misma disciplina. ¿De cu\'antas
maneras puede Pedro, hacer su elecci\'on?

\item [1.95] Tenemos en una mesa 8 libros \underline{diferentes},
de los cuales, 2 son de \linebreak Aritm\'etica, 2 de F\'isica, 2 de
Algebra, 1 de Geometr\'ia y 1 de Qu\'imica. ¿De cu\'antas maneras
podemos disponerlos en un estante, si el libro de Geometr\'ia
siempre debe quedar entre los dos de Algebra?

\item [1.96] En una cierta regi\'on, las placas de los
autom\'oviles son formadas por dos letras, seguidas de cuatro
d\'igitos. Hallar el n\'umero de placas, diferentes, que pueden ser
formadas con las letras $A$ y $B$, si las 4 cifras han de ser
\textbf{pares} (sin repetir éstas).

\item [1.98] Un profesor debe elegir uno o m\'as alumnos a partir
de un grupo de 6 alumnos. ¿De cu\'antas maneras puede hacerlo?

\item [1.99] Una persona posee \underline{cinco sellos},
correspondientes a los n\'umeros 1, 2, 3, 4 y 5. Usando dichos
sellos, ella pretende formar n\'umeros impares, de 3 d\'igitos.
\begin{enumerate}
\item ¿Cu\'antos n\'umeros de ese tipo, la persona puede formar,
sin ninguna otra condici\'on?

\item ¿Cu\'antos n\'umeros de ese tipo, la persona puede formar,
si las tres cifras deben ser diferentes entre s\'i?

\end{enumerate}


\item [1.100] Un c\'odigo para lectura \'optica est\'a constitu\'{i}do
por seis barras, blancas o negras. Ning\'un c\'odigo tiene todas las
barras de un solo color.

Ejemplo de los c\'odigos:

\begin{center}
\begin{pspicture}(0.5,0.5)(8.5,4)%\psgrid
     \psframe(0.5,0.5)(1,4)
     \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,0.5)(1.5,4)
     \psframe(1.5,0.5)(2,4)
     \psframe(2,0.5)(2.5,4)
     \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](2.5,0.5)(3,4)
     \psframe(3,0.5)(3.5,4)

     \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](5.5,0.5)(6.5,4)
     \psline[linewidth=0.07,linecolor=white](6,.5)(6,4)
     %\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](6,0.5)(6.5,4)
     \psframe(6.5,0.5)(7,4)
     \psframe(7,0.5)(7.5,4)
     \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](7.5,0.5)(8,4)
     \psframe(8,0.5)(8.5,4)
\end{pspicture}
\end{center}

¿Cu\'antos c\'odigos, distintos entre s\'i, pueden formarse?

\end{enumerate}

\newpage

\section{Problemas de Taller II}

\begin{enumerate}
\item[2.1] Obtener razonadamente, y sin calculadora,
$\sqrt{2003\cdot 2001\cdot 1999\cdot 1997+16}$

\item[2.2] Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, tal que
$f\left(\dis \frac{x}{3}\right)=x^2+x+1.$ Calcular la suma de todos
los valores de $z$ para los que $f(3z)=7$

\item[2.3]Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, dada por
$f(x)=(x+a)^3+b^2.$ Calcular el n\'umero de parejas $(a,b)$ que
cumplen $f(0)=1$ y $f(1)=2.$

\item[2.4] Una funci\'on $f$, definida para los enteros positivos
verifica que:
$$f(m)+f(n)=f(m\cdot n),$$ cualesquiera que sean los enteros positivos m
y n.

 Si $f(2)=8$\ \  y\ \ $f(3)=10$, hallar f(12).

\item[2.5] Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, dada por
$f(x)=|3x-1|.$ Hallar todos los valores de $x$ para los que
$$f(f(x))=x$$

\item[2.6] Sea $f[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$, tal que:

\begin{tabular}{l}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  a. $f(0)=0$ \\
  b. $f\left(\dis\frac{x}{3}\right)= \dis\frac{f(x)}{2}$\\
  c. $f(1-x)=1-f(x)$ \\
\end{tabular}

Hallar $f(\frac{242}{243})$


  \item[2.7] Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, tal que,
$f(5)=4,$\ \  y \ \ $f(x+5)=f(x)\cdot f(5)$, para todo $x\epsilon
\mathbb{R}$.\ \ Hallar $f(-5)$

  \item[2.8] Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, definida
por: $f(x)=x-3$.  Hallar el conjunto:  $$\{x\in \mathbb{R}:
f(x^3)=f(x)\}$$

  \item[2.9] Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, dada por:
$f(x)=3x^2$.\\  Hallar $f(f(2x)-2f(x))$

 \item[2.10] Dada $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, definida
as\'i: $f(x)=ax^5+bx^3+cx^2+d,$ hallar una condici\'on, necesaria y
suficiente, para que se cumpla que:\\ $f(x)=f(-x)$, para todo $x\in
\mathbb{R}.$

\item[2.11] Hallar el conjunto
$$\{x\in \mathbb{R}:||x-1|-4|\leq 3\}$$

\item[2.12] Sea $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, una
funci\'on para la cual se cumple que:
$$f(x)+f(x-1)=x^2,$$ cualquiera que sea $x\in \mathbb{R}$.\\ Si,
adem\'as,\ f(1)=1,\ hallar f(10).

\item[2.13] En el conjunto de los pares ordenados de n\'umeros
naturales definimos $f$ como sigue:

\begin{enumerate}
\item[*]$f(x,1)=x$, para todo $x\in\mathbb{N}$.

 \item[*]$f(x,y)=0$, si $y>x$.

 \item[*]$f(x+1,y)=y[ f(x,y)+f(x,y-1)]$,\ para todo
$x\in\mathbb{N},$ \ para todo $y\in\mathbb{N}$,\  $y\geq 2$.

 Hallar f(5,5)
 \end{enumerate}

 \item[2.14] Sea $f:[-2,2]\rightarrow \mathbb{R}$, cuya gr\'afica
es:
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(6,4)%\psgrid%
\psline{->}(0,2)(6,2)
\psline{->}(3,0)(3,4)
\psline{*-*}(1,1)(2,2)
\psline{-*}(2,2)(3,3)
\psline{-*}(3,3)(5,3)
\psline[linestyle=dashed](1,2)(1,1)
\psline[linestyle=dashed](5,2)(5,3)
\rput(1,2.2){$-2$}
\rput(2,2.2){$-1$}
\rput(4,1.8){$1$}
\rput(5,1.8){$2$}
\rput(2.8,3){$1$}
\end{pspicture}
\end{center}

Hallar $f(f(2)-f(f(-2)))$

 \item[2.15] Una persona compr\'o cierto n\'umero de cajas de
l\'apices por 18.000 Bs. Si \underline{con ese mismo dinero} hubiera
comprado 6 cajas \underline{menos}, cada caja le habr\'ia costado
100 Bs. m\'as. ¿Cu\'antas cajas compr\'o y cu\'anto le cost\'o cada
una?

 \item[2.16] La señora Josefina compr\'o un cierto n\'umero de
huevos, por los que pag\'o 6000 Bs. Al volver a casa se le cay\'o la
cesta, rompi\'endosele dos huevos, con lo cual el precio le
result\'o 1200 Bs. m\'as caro por docena, con respecto a lo que
pag\'o en el supermercado. ¿Cu\'antos huevos compr\'o la señora
Josefina?

 \item[2.17] Para llenar de agua una piscina, hay tres surtidores.
El primer surtidor tarda 30 horas en llenarla; el segundo, tarda 40
horas y el tercero, tarda 5 d\'ias. Si los tres se conectan juntos,
¿Cu\'anto tiempo tardar\'a la piscina en llenarse?.

 \item[2.18] Un zorro perseguido por un perro, le lleva 50 saltos
 (de zorro) de ventaja, y da 4 saltos, por cada 3 del perro; pero, en compensaci\'on, dos saltos del perro
equivalen a 3 del zorro. ¿Cuántos saltos dará el perro, para
alcanzar al zorro ?

 \item[2.19] La matr\'icula de un automóvil tiene  5 cifras, todas
diferentes. Al instalarla, el propietario se equivoc\'o y
\underline{la puso} cabeza abajo, obteniendo un n\'umero mayor que
el original de la matr\'icula, en la cantidad 78633. ¿Cu\'al es el
n\'umero de la matr\'icula?

\underline{Nota}: La cifra uno se escribe as\'i: I; no 1.

 \item[2.20] Un padre tiene 26 años m\'as que su hijo. Si dentro
de 10 años, entre los dos sumar\'an 54 años, ¿cu\'al es la edad
actual del padre?

 \item[2.21] En una Asamblea hay hombres y mujeres. Abandonan 15
mujeres la Asamblea y entonces, quedan dos hombres por cada mujer; a
conti- nuaci\'on abandonan la Asamblea 45 hombres y quedan entonces,
5 mujeres por cada hombre. ¿ Cu\'antas personas participan
inicialmente en la Asamblea?

 \item[2.22] Una señora posee tres hijas en edad escolar. El
producto de su edad con las edades de sus hijas es 16555. Hallar la
edad de la hija mayor.

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.23]  El valor de un cierto tipo de carro disminuye, con
el paso del tiempo, seg\'un indica el gr\'afico. ¿Al cabo de
cu\'antos años dicho carro no tendr\'a valor alguno?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0.5,0.5)(6,6)%\psgrid
\psline{->}(0.5,1)(5.5,1)
\psline{->}(1,0.4)(1,5.5)
\psline{*-*}(1,5)(4,2)
\psline(4,2)(4.5,1.5)
\psline[linestyle=dashed](4,1)(4,2)(1,2)
\rput(1,5.8){\foo Precio (Miles de Bs.F)}
\rput(6,.5){\foo Tiempo (años)}
\rput(4,.5){\foo $7.5$}
\rput(.6,.7){\foo $4.5$}
\end{pspicture}
\end{center}
 \end{minipage}

\bigskip


 \item[2.24] En la tabla que se muestra, $n_{0}$ es el n\'umero de la
casilla en que, \textbf{por primera vez}, el n\'umero inferior es
mayor que el n\'umero superior, de la misma columna. Hallar $n_0$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  1 & 2 & 3 & 4 & $\ldots$ & $n_{0}$ \\
  \hline
  1000 & 1004 & 1008 & 1012 & $\ldots$ &  \\
  20& 27 & 34 & 41 &  &  \\
    \hline
\end{tabular}
\end{center}

 \item[2.25] Una hoja (cuadrada) de papel, $ABCD$ es doblada de
forma que el v\'ertice $C$ coincida con $M$, punto medio de
$\overline{AB}$. Si el lado del cuadrado $ABCD$ mide 1 cm, ¿cu\'anto
mide $\overline{BP}$?
\begin{center}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,3)(3,3)(3,0)
\rput(-.2,-.2){$A$}
\rput(3.2,-.2){$B$}
\rput(3.2,3.2){$C$}
\rput(-.2,3.2){$D$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hspace{1cm}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(4,2.5)%\psgrid
\pspolygon(2,0)(3,1.2)(0,2)(-.4,1.5)
\psline{*-}(0,0)(2,0)
\psline{*-*}(2,0)(3,0)
\psline{*-*}(3,0)(3,1.2)
\psline(0,0)(0,1.22)
\rput(-.2,-.2){$A$}
\rput(3.2,-.2){$B$}
\rput(2,-.2){$M$}
\rput(3.2,1.2){$P$}

\end{pspicture}
\end{minipage}
\end{center}
 \item[2.26] Actualmente, Isabel tiene 24 años de edad.
\underline{Ana} le dice a \underline{Isabel}: ``Tienes el doble de
la edad que yo ten\'ia cuando t\'u ten\'ias la edad que yo tengo
ahora''

¿Cu\'al es la edad de Ana?


 \item[2.27] Resolver la ecuaci\'on; $4^x-2^x=56$. \\\\

 En los problemas del (2.28) al (2.36), usar
el\textbf{ Principio de Inducci\'on Matem\'atica.}


 \item[2.28] Demostrar que: $$1+3+5+\ldots+(2n-1)=n^2,$$ para todo
$n\in\mathbb{N}$.


 \item[2.29] Demostrar que,  para cada $n\in\mathbb{N}$, se cumple
que: $2^{4n}-1$ es multiplo de 15.


 \item[2.30] Probar que para todo $n\in\mathbb{N}$, se  tiene:
$$\dis\frac{1}{1\cdot5}+\dis\frac{1}{5\cdot9}+\dis\frac{1}{9\cdot13}+
\ldots+\dis\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}= \dis\frac{n}{4n+1}$$

 \item[2.31] Demostrar que:
$$1+\sum_{k=1}^{n}k!\qquad\qquad\mbox {es \textbf{par}, para todo
}n\in\mathbb{N}$$

 \item[2.32] Demostrar que, para todo $n\in\mathbb{N}, $
 $$ 7^n+2\qquad\qquad \mbox{ es divisible entre 3}$$

  \item[2.33] Demostrar que:
  $$\left(1-\dis\frac{1}{4}\right)\cdot\left(1-\dis\frac{1}{9}\right)
  \cdot\left(1-\dis\frac{1}{16}\right)\ldots
  \left(1-\dis\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\frac{n+2}{2(n+1)},$$ para todo
  $n\in \mathbb{N}$

  \item[2.34] Demostrar que:
  $$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+ \ldots +n(n+1)=\dis\frac{n(n+1)(n+2)}{3},$$  para todo
  $n\in \mathbb{N}$

\item[2.35]
 \begin{enumerate}
 \item[a.-] Demostrar que para todo n\'umero natural $n\geq3,$ se
tiene:
$$2^n>2n+1$$
\item[b.-]Demostrar que si $n$ es un n\'umero natural,
\underline{par}, entonces:
$$\dis\frac{n}{12}+\dis\frac{n^2}{8}+\dis\frac{n^3}{24},\quad \mbox{ es \underline{un n\'umero natural} } $$
\end{enumerate}

\item[2.36]\begin{enumerate}
 \item[a.-] Demostrar que $n^3-n$ es m\'ultiplo de 6,\\ para
todo $n\in\mathbb{N}$

 \item[b.-]Si $A=\left(%
\begin{array}{cc}
  1 & 2 \\
  2 & 4 \\
\end{array}%
\right)$, entonces, $A^n=5^{n-1}\left(%
\begin{array}{cc}
  1 & 2 \\
  2 & 4 \\
\end{array}%
\right),$ \\ para todo $n\in \mathbb{N}$
\end{enumerate}

\item[2.37] $$\sum_{k=1}^{n} k!$$  es un \underline{cuadrado
perfecto}, para sólo dos valores de $n$, ¿cu\'ales?


\item[2.38]

 \begin{enumerate}
 \item[a.-] Sea $A$ un conjunto de 4 elementos. Hallar el n\'umero
de funciones $f: A\rightarrow A$, tales que la ecuaci\'on $f(x)=x$
\underline{no} tenga soluci\'on.
  \item[b.-]Una secci\'on tiene 10 alumnos y 5 alumnas. Se forman
comisiones de 4 alumnos y 2 alumnas. Hallar el n\'umero de
comisiones en las que participa el alumno X y no participa la alumna
Y.
  \end{enumerate}


\item[2.39] Sea
$A=\left\{1,2,3\right\}$,\ \ $B=\left\{8,9,10,11,12\right\}$.
\begin{enumerate}
 \item[a.-]¿Cu\'antas son las funciones de $A$ en $B$?
  \item[b.-]De ellas, ¿cu\'antas son inyectivas?

  \item[c.-] ¿Cu\'antas son las funciones de $A$ en $B$,
estrictamente crecientes?

  \end{enumerate}

\item[2.40] Si una persona gasta exactamente un minuto para
escribir cada \underline{anagrama} de la palabra VENEZUELA,
¿cu\'anto tiempo tardar\'a en escribirlos todos, si no debe parar
ning\'un instante para descansar?

\item[2.41] Mar\'ia llega a una fruter\'ia, en la cual ofrecen
mandarinas, mangos, manzanas y cambures. Ella quiere comprar
\underline{media docena} de frutas. ¿De cu\'antos modos puede
hacerlo?

\item[2.42] Un hombre se encuentra en el punto $(-1,-2)$, en un
sistema cartesiano ortogonal. El s\'olo puede dar un paso cada vez:
para el Norte (N) o para el Este  (E). Partiendo del punto
$(-1,-2)$, y \underline{pasando por el origen}, ¿cu\'antas
trayectorias puede hacer hasta el punto $(4,3)$?

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(7,6)%\psgrid
\psline[linewidth=0.02](0,2)(7,2)
\psline[linewidth=0.02](2,0)(2,6)
\psframe[linewidth=0.02](1,0)(2,2)
\psframe[linewidth=0.02](2,2)(6,5)
\psline[linewidth=0.02](1,1)(2,1)
\psline[linewidth=0.02](2,3)(6,3)
\psline[linewidth=0.02](2,4)(6,4)
\psline[linewidth=0.02](2,5)(6,5)
\psline[linewidth=0.02](3,2)(3,5)
\psline[linewidth=0.02](4,2)(4,5)
\psline[linewidth=0.02](5,2)(5,5)
\psdots(1,0)
\psdots(6,5)
\psdots(2,2)
\rput(1,2.2){$-1$}
\rput(2.4,0){$-2$}
\rput(6,1.8){$4$}
\rput(1.8,5){$3$}
\end{pspicture}
\end{center}


\item[2.43] Se forman las \underline{combinaciones simples}, de
\underline{clase 5}, de los elementos
$$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{12},$$ las cuales
son escritas con los elementos en \underline{orden creciente de
\'indices}. ¿Cu\'antas son las combinaciones en las cuales el
elemento $a_8$ ocupa el tercer lugar?

\item[2.44] Se ordenan en forma creciente, todos los n\'umeros de
5 cifras, que se pueden formar, sin repeticiones de d\'igitos, con
el 1, con el 2, el 4, el 6 y el 7.
\begin{enumerate}
 \item[a.-]¿Qu\'e lugar ocupa el 62417?
  \item[b.-]¿Qu\'e n\'umero ocupa el 66° lugar? \item[c.-] ¿Cu\'al
 es la $ 200^{\underline{a}}$ cifra escrita? \item[d.-] ¿Cu\'al es
 la suma de los n\'umeros formados ?
  \end{enumerate}

\item[2.45] ¿Cu\'antos son los n\'umeros naturales de 7 d\'igitos,
en los cuales el d\'igito 4 figura \underline{exactamente} 3 veces y
el d\'igito 8, \underline{exactamente} 2 veces ?

\item[2.46]
\begin{enumerate}
 \item[a.-]¿Cu\'al es el n\'umero m\'inimo de sillas que debe
tener un restaurante, que posee \underline{50 mesas}, para
garantizar la existencia de, por lo menos, \textbf{una mesa} con, al
menos, \textbf{6 sillas}?
  \item[b.-] En una gaveta  hay 12 medias blancas y 12 medias
azules. ¿Cu\'al es el n\'umero \textbf{m\'inimo} de medias, que
debemos retirar (con los ojos vendados) para tener la seguridad de
obtener \textbf{tres pares de medias de un mismo color}?
 \item[c.-] Demostrar que en una fiesta de cumpleaños, con 37
niños, por lo menos 4 nacieron el mismo mes.
  \end{enumerate}

 \item[2.47] Una ciudad tiene 7.000.015 habitantes. El n\'umero
m\'aximo de cabellos que puede crecer en una cabeza humana es
500.000.

Demostrar que hay, al menos, 15 habitantes de la ciudad mencionada,
con el mismo n\'umero de cabellos.

 \item[2.48] Se marcan 5 puntos, \underline{al azar}, en la
superficie de un cuadrado, de lado 2.

Demostrar que: por lo menos uno de los segmentos determinados por
parejas de los puntos marcados tiene longitud menor o igual a
$\sqrt{2}$.

 \item[2.49] Demostrar que si se marcan,  \underline{al azar},
cinco puntos en el interior de un tri\'angulo equil\'atero, de lado
1, debe haber dos de ellos, por lo menos, a una distancia menor
igual a $\dis\frac{1}{2}$.

 \item[2.50] Dado el conjunto
$A=\left\{1,2,3,4,5,\ldots,98,99,100\right\},$ una persona elige,
\underline{al azar}, 51 n\'umeros de dicho conjunto. Demostrar que,
entre los n\'umeros escogidos por la persona, hay, por lo menos,
\textbf{dos} n\'umeros, tales que \underline{uno divide al otro}.

 \item[2.51] Diremos que en un punto $(x,y)$ de $\mathbb{R}^2$, es
``\underline{entero}'', si sus dos coordenadas son enteras. por
ejemplo, $(1,4),\;(7,8),\;(-2,5),\;(0,0),\;(-11,-77)$, son
``\underline{enteros}''; mientras que
$(\dis\frac{1}{2},3),\;(\sqrt{2},3),$ no son ``\underline{enteros}''

\begin{enumerate}
 \item[a.-] Sea, \underline{en general}, un conjunto de 5 puntos
``\underline{enteros}'', de $\mathbb{R}^2$. Demostrar que en el
punto medio de alguno de los segmentos que unen parejas de esos
puntos es ``\underline{entero}''.

  \item[b.-] Dar un conjunto de 4 puntos ``\underline{enteros}'' de
$\mathbb{R}^2$, tales que ninguno de los puntos medios de los
segmentos, que unen parejas de dichos cuatro puntos, es ``entero''.

  \end{enumerate}

 \item[2.52] Demostrar que 7 divide a alg\'un n\'umero de la
forma:
$$252525 \ldots 2525.$$

 \item[2.53] Los agentes de un \underline{servicio secreto}
reciben \underline{mensajes codificados}. Cada letra es sustitu\'ida
por el n\'umero de su posici\'on en el alfabeto. Con
estos n\'umeros se forma la matriz $M$. Por ejemplo,  $$\textrm{Si}\ M=\left(%
\begin{array}{cc}
  2 & 1 \\
  12 & 1 \\
\end{array}%
\right), \ \textrm{el mensaje es: bala}.$$  $$\textrm{Si}\ M=\left(%
\begin{array}{cc}
  8 & 21 \\
  25 & 1 \\
\end{array}%
\right), \ \textrm{el mensaje es: huya.}$$  $$\textrm{Si} \ M=\left(%
\begin{array}{cc}
  8 & 15 \\
  12 & 1 \\
\end{array}%
\right),\ \textrm{ el mensaje es: hola.}$$

Pero, \underline{para mayor seguridad}, cada mensaje de cuatro
letras es enviado al agente, en la forma $MA$, donde, $A=\left(%
\begin{array}{cc}
  4 & 12 \\
  0 & 5 \\
\end{array}%
\right)$ (la cual el agente conoce y guarda en secreto). Es decir,
el agente recibe el resultado $MA$, y debe encontrar $M$.
Cierto agente recibi\'o la matriz $\left(%
\begin{array}{cc}
  72 & 241 \\
  12 & 61 \\
\end{array}%
\right) $. ¿Cu\'al era el mensaje?

\vspace{1cm}

\begin{tabular}{cccccccccccccccc}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
   a & b & c & d & e & f & g & h & i & j & k & l & m &n & o & p \\
   1& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16
   \\\\
  q & r & s & t & u & v & w & x & y & z &  &  &  &  &  &  \\
  17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26 & &  &  &  &  &  \\

\end{tabular}

\item[2.54] Una part\'icula se mueve en el primer cuadrante, como
se describe a continuaci\'on: durante el primer minuto se mueve del
origen al punto $(1,0)$; de all\'i en adelante, contin\'ua,
siguiendo las direcciones que se muestran en la figura, a lo largo
de una trayectoria comprendida entre las partes positivas de los
ejes $x$ e $y$, desplaz\'andose \underline{una unidad de distancia
},\linebreak paralela a alguno de los ejes, \underline{en cada
minuto}. ¿En qu\'e punto se encontrar\'a la part\'icula, despu\'es
de, exactamente, 2008 minutos?
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(8,10)%\psgrid
\psline{->}(0,0)(8,0)
\psline{->}(0,0)(0,9)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,0)(2,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,0)(2,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,0)(2,2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,2)(1,2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,2)(0,2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,2)(0,3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,3)(0,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,4)(1,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,4)(2,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,4)(3,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3,4)(4,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,4)(4,3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,3)(4,2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,2)(4,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,1)(4,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,0)(5,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,0)(6,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6,0)(6,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6,1)(6,2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6,2)(6,3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6,3)(6,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6,4)(6,5)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6,5)(6,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(6,6)(5,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(5,6)(4,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(4,6)(3,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3,6)(2,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2,6)(1,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(1,6)(0,6)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,6)(0,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,7)(0,8)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,8)(2,8)
\rput(0,9.2){$y$}
\rput(8.2,0){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[2.55]
\begin{enumerate}
 \item[a.-]¿En cu\'al punto la tangente a la par\'abola\ \
$y=x^2-7x+3$,\ \ es paralela a la recta \ $5x+y=3$\ ?
  \item[b.-]¿En cu\'al punto de la tangente a la curva\ \
$y=2x^3-3x^2+6x$\ \  tiene la pendiente \underline{m\'as
pequeña}?¿Cu\'al es la pendiente de la tangente en ese punto?

  \end{enumerate}


\item[2.56] Probar que \underline{la recta normal} a la curva de
la ecuaci\'on $$8(x^2+y^2)^2=100(x^2-y^2),$$ en $(3,1)$,
\underline{pasa por el punto} $(12,14)$.

\item[2.57] Sea $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, derivable,
tal que: $f(0)=0$\ \  y \ \ $f'(0)=2.$ \\ Hallar la derivada de
$f(f(f(f(x))))$,\ \  en x=0.

\item[2.58] En la figura, $r$ es \underline{la recta tangente}, en
el punto $(1,1)$, al gr\'afico de la funci\'on:
$$f:[0,+\infty]\rightarrow\mathbb{R},$$
$$f(x)=x^2$$
Hallar el \'area de la zona rayada.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(5.5,6.55)%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchangle=0,linecolor=white](2.7,.5)(4,4)(.5,.5)
\pscurve[fillstyle=solid,fillcolor=white,linewidth=0.05](.5,.5)(2.5,1.5)(4,4)(4.3,5)(4.5,6.2)
\psline{->}(.5,0)(.5,6.5)
\psline{->}(0,.5)(5,.5)
\psline[linestyle=dashed](4,.5)(4,4)
\psline[linestyle=dashed](.5,4)(4,4)
\psline[linewidth=0.05](2.5,0)(4.8,6)
\psdots(4,4)
\rput(5.3,.5){\foo $x$}\rput(.5,6.8){\foo $y$}\rput(3.8,6){\foo $y=x^2$}
\rput(5,5.8){\foo $r$}
\end{pspicture}
\end{center}
%
\item[2.59] Un avi\'on reporta su descenso desde el punto $(-4,1)$. Hallar la
funci\'on c\'ubica $$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d,$$ que describe, en el
intervalo $[-4,0]$, la trayector\'ia suave del aterrizaje.
\begin{center}
\begin{pspicture}(1,-.5)(11.5,3.5)%\psgrid
\pscurve(2,2)(3,1.9)(4,1.7)(6,1)(7,.6)(8,.3)(9,.1)(10,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2)(1,2.4)(1.2,2.2)(1.8,2.2)(2,2)
\psline{->}(10,-.5)(10,3)
\psline{->}(1,0)(11,0)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)(10,2)
\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,1)
\rput(2,-.3){\foo $-4$}\rput(4,-.3){\foo $-3$}\rput(6,-.3){\foo $-2$}\rput(8,-.3){\foo $-1$}
\rput(10.2,-.3){\foo $0$}\rput(10.2,2){\foo $1$}\rput(11.2,0){\foo $x$}\rput(10,3.2){\foo $y$}


\end{pspicture}
\end{center}

\item[2.60] Dadas $f$ y $g$, funciones cuyas gr\'aficas aparecen
en la figura, sean: $$u(x)=f(x)\cdot g(x),\qquad
w(x)=\dis\frac{f(x)}{g(x)+1}.$$ Calcular:
\begin{enumerate}
\item[a)] $u'(1)$ \item[b)] $9\cdot w'(5)$
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,7)%\psgrid
\psline{->}(1,0)(1,7)
\psline{->}(0,0)(8,0)
\psframe[linewidth=0.02](0,1)(1,0)
\psframe[linewidth=0.02](1,0)(7,6)
\psline[linewidth=0.02](1,1)(7,1)\psline[linewidth=0.02](1,2)(7,2)\psline[linewidth=0.02](1,3)(7,3)
\psline[linewidth=0.02](1,4)(7,4)\psline[linewidth=0.02](1,5)(7,5)
\psline[linewidth=0.02](2,0)(2,6)\psline[linewidth=0.02](3,0)(3,6)\psline[linewidth=0.02](4,0)(4,6)
\psline[linewidth=0.02](5,0)(5,6)\psline[linewidth=0.02](6,0)(6,6)\psline[linewidth=0.02](7,0)(7,6)
\psline(0,1)(1,0)\psline{*-}(1,0)(3,4)\psline{*-}(3,4)(6,3)\psline{*-}(6,3)(8,2.33333)
\psline[linestyle=dashed]{-*}(0.66667,7)(1,6)\psline[linestyle=dashed]{-*}(1,6)(3,0)
\psline[linestyle=dashed]{-*}(3,0)(6,2)\psline[linestyle=dashed](6,2)(8,3.33333)
\rput(0,-.3){$-1$}
\rput(.8,1){$1$}\rput(1,-.3){$0$}
\rput(.8,2){$2$}\rput(2,-.3){$1$}
\rput(.8,3){$3$}\rput(3,-.3){$2$}
\rput(.8,4){$4$}\rput(4,-.3){$3$}
\rput(.8,5){$5$}\rput(5,-.3){$4$}
\rput(.8,6){$6$}\rput(6,-.3){$5$}
\rput(.8,7){$7$}\rput(7,-.3){$6$}
\rput(8,-.3){$7$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.61] ¿A qu\'e altura $h$, debe estar el foco de la figura,
si el punto $(1_\cdot25,0)$ est\'a en el \underline{borde} de la regi\'on
iluminada?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-.5)(2,3.4)%\psgrid
\pswedge[fillstyle=hlines*,hatchangle=0](0,0){1}{0}{180}
\psline{->}(0,0)(0,2)
\psline{->}(-2,0)(2,0)
\psline(-2,0)(-2,3)
\psline(-2,3)(1.55,0)
\psdots(.65,.75)
\psdots(-1,0)
\psdots(1,0)
\psdots(1.55,0)
\pscircle(-2,3.1){.1}
\psline[linewidth=0.05](-2,3.2)(-2,3.3)
\rput(-2.2,1.5){\foo$h$}
\rput(-2,-.2){\foo$-2$}
\rput(-1,-.2){\foo$-1$}
\rput(0,-.2){\foo$0$}
%\rput(1,-.2){\foo$1$}
\rput(1.55,-.23){\foo$1,25$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item[2.62] La figura representa la gr\'afica de una funci\'on;
consiste de cuatro segmentos. Hallar las soluciones de la
ecuaci\'on: $$f(f(x))=6$$
\begin{center}
\begin{pspicture}(-8,-6)(6,7)%\psgrid
\psline{->}(-8,0)(6,0)
\psline{->}(0,-6)(0,7)
\psline{*-}(-7,-4)(-2,6)
\psline{*-}(-2,6)(0,0)
\psline{*-}(0,0)(1,6)
\psline{*-*}(1,6)(5,-6)
\psline[linestyle=dashed](0,-4)(-7,-4)
\psline[linestyle=dashed](-7,0)(-7,-4)
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,6)
\psline[linestyle=dashed](-2,6)(1,6)
\psline[linestyle=dashed](1,6)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](0,-6)(5,-6)
\psline[linestyle=dashed](5,-6)(5,0)
\rput(.4,-4){$-4$}
\rput(-.4,-6){$-6$}
\rput(-7,.2){$-7$}
\rput(5,.2){$5$}
\rput(-2,-.2){$-2$}
\rput(-.2,-.2){$0$}
\rput(1,-.2){$1$}
\rput(-.2,5.8){$6$}
\rput(6.2,0){$x$}
\rput(0,7.2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[2.63] Una recta que pasa por el origen de coordenadas,
divide al paralelogramo, de v\'ertices: $A(10,41),\; B(10,110),\;
C(28,149)$ y $D(28,80) $ en dos regiones iguales. Calcular la
pendiente de dicha recta.

\item[2.64] Sea $\mathbb{N}$, el conjunto de los n\'umeros
naturales,\ \ y \ \ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$,\ \ el conjunto de
\linebreak todos los subconjuntos de $\mathbb{N}$. En
$\mathcal{P}(\mathbb{N})$ consideremos la siguiente \linebreak
operaci\'on: $A\triangle B= A\cup B- A\cap B$,\ \  para $A$ \ y \
$B$ en $\mathcal{P}(\mathbb{N})$
\begin{enumerate}
 \item[a.-]¿Cu\'al es el elemento neutro para esta operaci\'on
$\triangle$?
  \item[b.-]¿Cu\'al es el inverso de un elemento $A\in
\mathcal{P}(\mathbb{N})$?

  \end{enumerate}

\item[2.65] Sea $f:\mathcal{P}(\{0,1,2\})\rightarrow
\mathcal{P}(\{0,1,2\}),$ \\ dada por $f(A)= A\triangle {\{1\}}$ .

Probar que $f$ es \underline{biyectiva} y hallar su inversa.


\item[2.66] Sea $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, dada por:
\[ f(x)=\left\lbrace
  \begin{array}{r l}
    x+1,& \mbox{si x es par},\\
    x, & \mbox{si x es impar}.
  \end{array}
\right. \]

\begin{enumerate}

\item[a.)]¿Es $f$ inyectiva? \item[b.)]¿Es $f$ sobreyectiva?
\end{enumerate}

\item[2.67] Sean: $f$ y $g$, funciones de $\mathbb{N}$ en
$\mathbb{N}$, definidas por:$$f(n)=\sum_{i=1}^{n}i, \qquad \quad
g(n)= \dis\frac{n(n+1)}{2}. $$ ¿Cu\'al es la opci\'on falsa ?
\begin{enumerate}

\item[a.)]$f=g$
 \item[b.)]f es inyectiva \item[c.)] $4f(n)g(n)=n^4+2n^3+n^2$
 \item[d.)] $f(n)+ g(n)= n(n+1)$ \item[e.)] g es sobreyectiva.
\end{enumerate}

\item[2.68] Sea $\mathbb{R}^+$, el conjunto de los n\'umeros
reales positivos.\\ Definimos una operaci\'on (denotada por
$\boxtimes$) as\'i: $x\boxtimes y = 10xy$ (en el segundo miembro de
la igualdad aparece el producto usual de n\'umeros reales ).

\begin{enumerate}

\item[a.)]¿Cu\'al es el elemento neutro para la operaci\'on
definida?
 \item[b.)]¿Cu\'al es el inverso, respecto a $\boxtimes$, del
n\'umero $\dis\frac{1}{100}$?
\end{enumerate}

\item[2.69] Las transformaciones que superponen un tri\'angulo
equilatero sobre s\'i mismo son:
\begin{enumerate}

\item[$e:$]la transformaci\'on identidad
 \item[$w:$] la rotaci\'on de 120°, alrededor del centro del
tri\'angulo, en sentido contrario al de las agujas del reloj.
 \item[$w^2:$] la rotaci\'on de 240°, alrededor del centro del
tri\'angulo, en sentido anti-horario.
 \item[$p:$] la simetr\'ia respecto a la recta $l$
  \item[$q:$] la simetr\'ia respecto a la recta $m$
   \item[$r:$]la simetr\'ia respecto a la recta $n$
\end{enumerate}
   El producto de dos transformaciones, por ejemplo, $p\cdot q$, es la
transformaci\'on que resulta de aplicar $p$, y despu\'es, q.

En nuestro caso, $pq=w^2$.

Completar la tabla de operaciones y deducir algunas propiedades.

\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{pspicture}(0,-3.264111)(6.014111,3.264111)%\psgrid
\pspolygon[linewidth=0.05](0.4,-2.25)(5.6,-2.25)(3.0,2.25)
\psline[linewidth=0.028222222cm](3.0,3.25)(3.0,-3.25)
\psline[linewidth=0.028222222cm](3.0,-0.75)(5.6,-2.25)
\psline[linewidth=0.028222222cm](0.0,-2.48333)(6.0,0.98333)
\psline[linewidth=0.028222222cm](0.0,0.98333)(6.0,-2.48333)
\psarc[linewidth=0.028222222,arrowsize=0.05291667cm 2.0,arrowlength=1.4,arrowinset=0.4]{->}(3.0,2.75){0.3}{180.0}{0.0}
\psarc[linewidth=0.028222222,arrowsize=0.05291667cm 2.0,arrowlength=1.4,arrowinset=0.4]{->}(5.4,0.65){0.3}{150.0}{330.0}
\psarc[linewidth=0.028222222,arrowsize=0.05291667cm 2.0,arrowlength=1.4,arrowinset=0.4]{->}(0.6,0.65){0.3}{60.0}{240.0}
\psline[linewidth=0.028222222](3.2,-2.25)(3.2,-2.05)(3.0,-2.05)
\psline[linewidth=0.028222222](4.1817455,0.17577945)(4.020183,0.05789153)(4.138071,-0.10367097)
\psline[linewidth=0.028222222](1.8864998,-0.10558115)(1.9840487,0.069016054)(1.8094516,0.16656509)
\psdots(3,-.725)
\rput(3.2,3){$l$}
\rput(6.2,1.1){$m$}
\rput(-.2,1.1){$n$}
\rput(3.2,-.4){$O$}

\end{pspicture}
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
   & $e$ & $w$ & $w^2$ & $p$ & $q$ & $r$ \\
  \hline
  $e$&  &  &  &  &  &  \\
   \hline
  $w$ &  &  &  &  &  &  \\
   \hline
  $w^2$ &  &  &  &  &&  \\
   \hline
  $p$ &  &  &  &  &  $w^2$ &  \\
   \hline
  $q$ &  &  &  &  &  &  \\
   \hline
  $r$ &  &  & &  &  & \\
  \hline
\end{tabular}
\end{minipage}



\item[2.70]

\begin{enumerate}
\item[ a.)] Si $m+n=3$\ \  y\ \  $m^2+n^2=6$, calcular  $m^3+n^3$

\item[ b.)] ¿Cu\'al es el mayor divisor de $2^{14}-1,$ distinto de
\'el mismo?

\item[ c.)] Demostrar que el resto de dividir el cuadrado de un
n\'umero impar entre 8 es siempre 1

\item[ d.)] Calcular la suma de los 120 \underline{n\'umeros de  5
cifras}, no repetidas, que se pueden formar con los d\'igitos:
1,2,3,4, y 5

\item[ e.)] Demostrar que si $p$ es un \underline{n\'umero primo},
\underline{mayor o igual a 5}, entonces, $p^2-1$ es m\'ultiplo de
24.

\item[ f.)] Hallar todos los enteros positivos $n$, tales que,
$n^2-19n+99$ es un cuadrado perfecto.

\item[ g.)] Demostrar que $47^{21}+ 23^{21}$ es m\'ultiplo de 70.

\item[ h.)] ¿Cu\'antos n\'umeros naturales $n$, hay, tales que
$n+3$ divide exactamente a $n^2+7$?
\end{enumerate}

\item[ 2.71]

\begin{enumerate}
\item[ a.)]  Expresar $\dis\frac{1}{2} $ como suma de dos
fracciones de numerador 1 (fracciones del tipo $\dis\frac{1}{n} $,
con $n$ n\'umero natural)

\item[ b.)] Encontrar todos los rect\'angulos  cuyos lados tengan
por medida n\'umeros naturales y que tengan \textbf{'area y
per\'imetro numéricamente iguales.}

\item[ c.)]¿Cu\'ales pares de n\'umeros naturales tienen
\underline{media arm\'onica} igual a 4?
(La media arm\'onica de dos n\'umeros $a$  y  $b$ es
$\frac{2ab}{a+b}$)

\item[ d.)] Hallar todos los posibles pares de enteros cuyo
producto sea positivo e igual al doble de su suma.

\item[ e.)] En un plano, es dado un punto $P$; hallar todos los
$n$, tales que, el espacio alrededor de $P$, pueda ser recubierto,
sin superposici\'on, por pol\'igonos regulares, congruentes, de
$n$ lados.

 \item[ f.)] ¿Para cu\'ales enteros $n$, mayores que 2, el
n\'umero 2n es divisible por $n-2$?
\end{enumerate}

 \item[ 2.72] Dos velas de la misma longitud, est\'an hechas de
diferentes materiales, de forma que una se consume completamente
(de manera uniforme) en 3 horas, y la otra, en 4 horas.

¿A que hora de la tarde fueron encendidas las velas, si a las 4 de
la tarde, la longitud de una es el doble que la de la otra?


 \item[ 2.73] Dos velas son de diferente longitud y diferente
grosor. La m\'as larga dura 7 horas en gastarse completamente, y
la m\'as corta dura 10 horas. Despu\'es de estar encendidas
durante 4 horas, las dos velas tienen el mismo largo; hallar la
raz\'on (cociente) entre el largo original de la vela m\'as corta
y el largo de la vela m\'as larga.

 \item[ 2.74] Se disponen los estudiantes  de una clase de baile,
\underline{igualmente espaciados}, en c\'irculo, y luego, se le
asignan n\'umeros consecutivos comenzando por el n\'umero 1. Resulta
que el estudiante n\'umero 20 queda \textbf{diametralmente opuesto}
al estudiante n\'umero 53. ¿Cu\'antos estudiantes componen la clase?


 \item[ 2.75] Un habitante del pueblo $A$ parte, en la mañana,
hacia el pueblo $B$ y, \underline{al mismo tiempo}, un habitante
del pueblo $B$ parte hacia el pueblo $A$. Cada uno de ellos hace
su recorrido a velocidad constante. Al mediod\'ia ambos se cruzan.
El primero llega a su destino a las 4 p.m.; mientras que el
segundo llega al pueblo $A$ a las 9 p.m ¿A qu\'e hora salieron?

 \item[ 2.76] \underline{El lindero} entre los terrenos de Luisa y
de Luc\'ia, es una \underline{l\'inea quebrada}, como se indica la
figura. ¿C\'omo trazar un lindero que sea un \textbf{segmento de
recta}, tal que nadie pierda ni gane terreno? (Hay, por lo menos tres,
maneras)

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)%\psgrid
\psline(.5,0.5)(7.5,0.5)
\psline(.5,2.5)(7.5,2.5)
\psline(2.5,.5)(5.5,1.6)(3.5,2.5)
\rput{45}(2,1.6){\it Terreno de}
\rput{45}(2.25,1.35){\it Lucia}
\rput{45}(6,1.6){\it Terreno de}
\rput{45}(6.25,1.35){\it Luisa}
\rput(7.8,2.5){$r$}
\rput(7.8,.5){$s$}
\rput(4,0){$r\parallel s$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[ 2.77]En la figura se tiene: $P$ y $Q$ son los respectivos
centros de las \linebreak circunferencias. El segmento
$\overline{PQ}$ mide 4 cm. ¿Cu\'anto mide el segmento
$\overline{MN}$, paralelo a $\overline{PQ}$?
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(6.5,4)%\psgrid
\pscircle(4.5,2){2}
\pscircle(2,2){1.5}
\psline(0,3.16)(7,3.16)
\psline(4.5,2)(2,2)
\psdots(4.5,2)
\psdots(2,2)
\psdots(2.9,3.16)
\psdots(6.12,3.16)
\psdots(1.1,3.16)
\rput(4.7,1.8){$P$}
\rput(1.7,1.8){$Q$}
\rput(.9,3.4){$N$}
\rput(6.4,3.4){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{minipage}{6cm}
\item[ 2.78] En la figura $V,Q,T$ y $W$ son puntos de tangencia;
$QR= 1$cm;\\  $ST=12$cm; $\overline{PQ}\perp\overline{PV}$;
$\overline{VU}\perp\overline{UW}$; $O$ es el centro de la
circunferencia. Hallar el \'area del c\'irculo.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(6,4.5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pspolygon(0,0)(0,4)(3.2,4)(5.3,0)
\psdots(2,2)\psdots(0,2)\psdots(2,4)\psdots(2,0)\psdots(3.7,3.1)
\psdots(3.2,4)\psdots(5.3,0)
\rput(-.3,-.3){$U$}
\rput(-.3,2){$V$}
\rput(-.3,4.3){$P$}
\rput(2,4.3){$Q$}
\rput(3.2,4.3){$R$}
\rput(3.9,3.3){$T$}
\rput(5.3,-.3){$S$}
\rput(2,-.3){$W$}
\rput(1.7,2){$O$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


 \item[ 2.79] Sabiendo que:
\begin{enumerate}
\item[ ] $AB= 6$cm; \item[ ] $AC= 9$cm;

\item[ ]$BC= 11$cm;
\end{enumerate}
Adem\'as, $P,\; K$  y  $J$ son puntos de tangencia; tambi\'en
$\overline{JL}\|\overline{BC}$, hallar $AL$
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(9.5,4.2)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psline(3,3.73205)(9.4641,0)(2,0)
\psline(3.1547,0)(4.725,2.75)
\psline(3.73205,1)(7.72,1)

\psdots(3.73205,1)\psdots(7.72,1)\psdots(4.725,2.75)
\psdots(3.1547,0)\psdots(9.4641,0)\psdots(2,0)\psdots(3,3.73205)\psdots(2,2)
\rput(2,-.3){\foo $P$}\rput(3.1547,-.3){\foo $B$}\rput(9.7,-.3){\foo $C$}
\rput(7.8,1.3){\foo $L$}\rput(3.4,1){\foo $J$}\rput(4.8,3){\foo $A$}
\rput(3.2,4){\foo $K$}
\end{pspicture}
\end{center}


\item[2.80] Observemos tres circunferencias, tangentes entre s\'i,
y tangente a la recta $t$ ($X,Y,Z,T,S,W$ son los puntos de
tangencia) Las circunferencias mayores tienen igual radio; el
radio de la menor es $r= 5\;cm$. Si $\sphericalangle PFQ=30°$,
hallar $PQ$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8,4.2)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pscircle(6,2){2}
\pscircle(4,.5){.5}
\psline(0,0)(8,0)
\pspolygon(1.5,.1)(1.2,3.8)(3.4,3.4)
\psdots(4,2)\psdots(2,2)\psdots(6,2)\psdots(4.4,.8)
\psdots(4,.5)\psdots(2,0)\psdots(4,0)\psdots(3.6,.8)
\psdots(6,0)\psdots(1.5,.1)\psdots(1.2,3.8)\psdots(3.4,3.4)
\psarc(1.5,.1){.5}{60}{95}
\rput(1.5,-.3){\foo$F$}\rput(2,-.3){\foo$X$}\rput(4,-.3){\foo$Y$}\rput(6,-.3){\foo$Z$}
\rput(1.7,2.2){\foo$O$}\rput(6.3,2.2){\foo$O'$}\rput(4.6,1){\foo$W$}\rput(3.4,1){\foo$S$}
\rput(4.2,.6){\foo$I$}\rput(4.3,2.2){\foo$T$}\rput(1,4){\foo$P$}\rput(3.6,3.6){\foo$Q$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.81] Consideremos dos circunferencias con centro $O$; la
cuerda $\overline{AB}$ mide $10\sqrt{2}$cm., y es
\underline{tangente} a la circunferencia menor; el radio de la
circunferencia mayor es de 10 cm. Hallar el c\'irculo menor.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,0)(4,4.5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pscircle(2,2){1.2}
\psline(0,1.8)(2.35,3.95)
\psdots(1.2,2.9)\psdots(2,2)
\rput(-.2,1.7){\foo$A$}\rput(2.45,4.15){\foo$B$}
\rput(1.8,2.2){\foo $O$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item[2.82]Para cada n\'umero real $k$, representamos por
$\left[k\right]$, \underline{la parte entera de $k$}, es decir, el
mayor entero que es menor igual a $k$. calcular el \'area de la
regi\'on del plano formada por los puntos $(x,y)$ tales que:
$$\left[x^2\right]+\left[y^2\right]=1.$$

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.83] En el paralelogramo $ABCD$, se verifica que $AE=FC$;
adem\'as,\\ $EF=12$cm, y el per\'imetro del cuadril\'atero $ABFE$ es
40 cm.\\ Hallar el per\'imetro del paralelogramo $ABCD$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,2.5)%\psgrid
\pspolygon(1,0)(0,2)(3,2)(4,0)
\psline(0.8,2)(3.2,0)
\rput(0,2.2){\foo$A$}\rput(.8,2.2){\foo$E$}\rput(3,2.2){\foo$D$}
\rput(1,-.2){\foo$B$}\rput(3.2,-.2){\foo$F$}\rput(4,-.2){\foo$C$}
\psdots(1,0)\psdots(0,2)\psdots(3,2)\psdots(4,0)\psdots(.8,2)\psdots(3.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item[2.84]
\begin{enumerate}

\item[a.)] Un tri\'angulo, de lados 5 cm, 5 cm y 6 cm, est\'a
inscrito en una circunferencia. Calcular el radio de \'esta.


\item[b.)] Los catetos de un \underline{tri\'angulo rect\'angulo}
miden 8 cm y 15 cm, respectivamente. Hallar el radio de la
circunferencia que pasa por los v\'ertices de dicho tri\'angulo.


\item[c.)] Los lados $a$ y $b$ de un tri\'angulo miden,
respectivamente, 20 cm y 8 cm. ¿Cu\'al es la \underline{menor
medida} del tercer lado $c$, sabiendo que es un n\'umero natural ?
\end{enumerate}

\item[2.85] Las tres circunferencias de la figura, tienen el mismo
radio $r$, y sus centros est\'an alineados. La circunferencia del
medio es tangente a las otras dos. Desde el punto $O$ se traza una
tangente a la circunferencia de centro $C_3$. Hallar, en funci\'on
de $r$, la longitud del segmento $\overline{AB}$, interceptado por
la circunferencia central.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,0)(7,2.3)%\psgrid
\psline(0,1)(7,1)
\pscircle(1.5,1){1}\pscircle(3.5,1){1}\pscircle(5.5,1){1}
\psline(.5,1)(5.3,1.979795)
\psdots(1.5,1)\psdots(3.5,1)\psdots(5.5,1)
\psdots(.5,1)\psdots(5.3,1.979795)\psdots(2.6,1.42)\psdots(4.17,1.74)
\rput(1.5,.7){\foo$C_1$}\rput(3.5,.7){\foo$C_2$}\rput(5.5,.7){\foo$C_3$}
\rput(-.3,1){\foo$O$}\rput(2.5,1.7){\foo$A$}\rput(4.2,2){\foo$B$}\rput(5.4,2.2){\foo$D$}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip

\item[2.86]\indent\vspace{-1.34cm}

\begin{minipage}{6cm}
El \'area  del cuadril\'atero $FAEC$ es 32 $cm^2$; $E$
es el punto medio de $\overline{AB}$, y $F$, el punto medio de
$\overline{AD}$. Hallar el \'area del cuadril\'atero $ABCD$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3.5,3.5)%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchangle=0](1.5,0)(0.75,3)(3,1)(3,0)
\pspolygon(3,2)(.75,3)(0,0)(3,0)
\psdots(0,0)\psdots(3,2)\psdots(.75,3)\psdots(3,0)\psdots(1.5,0)\psdots(3,1)
\rput(3.2,-.2){\foo$A$}\rput(3.2,2.2){\foo$B$}\rput(0.75,3.2){\foo$C$}
\rput(-.2,-.2){\foo$D$}\rput(3.2,1){\foo$E$}\rput(1.5,-.2){\foo$F$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}




\item[2.87] El tri\'angulo $ABC$ es equil\'atero, de lado  20 cm;
$\overline{PQ}\| \overline{BC}$; $\overline{RS}\| \overline{AC}$ y
$\overline{QR}\| \overline{AB}$. Si $SR+RQ+QP=29$cm, hallar $PS$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(6,5.5)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(6,0)(3,5)
\psline(2,0)(1,1.73205)
\psline(4,0)(5,1.73205)
\psline(1,1.73205)(5,1.73205)
\psline[linewidth=0.02](2,0)(4,0)
\psdots(2,0)\psdots(4,0)
\rput(0,-.3){\foo $A$}\rput(6,-.3){\foo $B$}\rput(3,5.3){\foo $C$}
\rput(2,-.3){\foo $P$}\rput(4,-.3){\foo $R$}
\rput(.7,1.73205){\foo $Q$}\rput(5.3,1.73205){\foo $S$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[2.88]

\begin{enumerate}

\item[a.)]En un c\'irculo de 20 m. de radio, una cuerda
perpendicular a un di\'ametro, tiene 24 m. de longitud. Hallar su
distancia al centro del c\'irculo.

\item[b.)] En un ci\'{i}rculo de 16 cm. de radio, dos cuerdas se
cortan. Sabiendo que el producto de los dos segmentos de cada una
es 156 $cm^2$, ¿cu\'al es la distancia del punto de intersecci\'on
al centro?

\item[c.)] Un c\'irculo tiene 15 m. de radio. Desde un punto a 25
m. del centro, se traza una tangente a ese c\'irculo. Hallar la
longitud de esa tangente.

\item[d.)] Desde un punto exterior a un c\'irculo parten dos
tangentes a dicho c\'irculo. Cada tangente mide 10 cm; la cuerda
que une los \underline{puntos de }\underline{contacto} mide 12 cm.
Hallar el radio de c\'irculo.

\item[e.)] El radio de un c\'irculo mide 13 cm. Desde un punto
situado a 5 cm. del centro del c\'irculo, se traza una cuerda.
\begin{enumerate}
\item ¿Cu\'al es el producto de los segmentos de dicha cuerda?
\item ¿Cu\'al es la longitud de la \underline{menor cuerda} que
pasa por aquel punto?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\item[2.89]
\begin{enumerate}

\item[a.)]$\overline{AB}$\ \  y\ \  $\overline{CE}$\ \  son tangentes comunes
a las dos circunferencias de la figura. Si $AB=12$ cm y $AE=2EB$,
hallar $CD$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(7.6,4.5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psline(3.73205,1)(5.4641,4)
\psline(2,4)(6.225,4)
\pscircle(6.225,2.7){1.3}
\psdots(6.225,2.7)\psdots(6.225,4)\psdots(5.115,3.38)
\psdots(2,4)\psdots(2,2)\psdots(3.73205,1)\psdots(5.4641,4)
\rput(3.9,.8){\foo $C$}\rput(2,4.3){\foo $A$}\rput(6.225,4.3){\foo $B$}
\rput(5.4641,4.3){\foo $E$}\rput(5.3,3.2){\foo $D$}
\end{pspicture}
\end{center}
($A,C,D$ y $B$, son los puntos de tangencia)\\


\item[b.)] Tres lados consecutivos del cuadril\'atero
circunscrito a la circunferencia de la figura, mide 3, 4 y 7 cm.,
respectivamente. Hallar la longitud del cuarto lado.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(4,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pspolygon(0.84529,0)(-1.464101,4)(4,4)(4,0)
\psdots(2,2)\psdots(2,4)\psdots(4,2)
\psdots(2,0)\psdots(0.26794,1)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}


 \item[2.90]
 \begin{enumerate}
 \item[a.)] En un tri\'angulo, que \underline{no} es is\'osceles,
dos de sus lados miden 6 y 11 cm, respectivamente; si al longitud
del tercer lado tambi\'en es un n\'umero entero, ¿cu\'antas
posibles longitudes son v\'alidas para este tercer lado?

 \item[b.)] Observar la cuadr\'icula y hallar el \'area del
tri\'angulo.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,3)%\psgrid
\psframe(0,0)(5,3)
\psline(1,0)(1,3)\psline(2,0)(2,3)\psline(3,0)(3,3)\psline(4,0)(4,3)
\psline(0,1)(5,1)\psline(0,2)(5,2)
\pspolygon[linewidth=0.05](0,0)(5,1)(2,3)
\rput(0,-.3){\foo $0$}\rput(1,-.3){\foo $1$}\rput(2,-.3){\foo $2$}\rput(3,-.3){\foo $3$}\rput(4,-.3){\foo $4$}\rput(5,-.3){\foo $5$}
\rput(-.3,0){\foo $0$}\rput(-.3,1){\foo $1$}\rput(-.3,2){\foo $2$}\rput(-.3,3){\foo $3$}
\end{pspicture}
\end{center}
 \end{enumerate}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.91] En el cuadrado $ABCD$ tenemos:

la longitud de la diagonal es $12\sqrt{2}$cm; $E$ es el punto
medio de $\overline{AB}$; $F$, el punto medio de $\overline{BC}$;
$I$, el punto de corte $\overline{AF}$ y $\overline{DE}$; $H$, el
punto de corte de $\overline{AF}$ y $\overline{DB}$; hallar el
\'area del cuadril\'atero $BEIH$:
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4.5)%\psgrid
\psframe(0,0)(4,4)
\psline(0,4)(2,0)
\psline(0,0)(4,4)(0,2)
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchangle=0](0,0)(0,2)(.8,2.4)(1.325,1.325)
\psdots(0,0)\psdots(4,4)\psdots(4,0)\psdots(0,4)\psdots(0,2)\psdots(2,0)
\psdots(.8,2.4)\psdots(1.325,1.325)
\rput(-.2,-.3){\foo $B$}\rput(-.2,4.3){\foo $A$}
\rput(4.2,-.3){\foo $C$}\rput(4.2,4.3){\foo $D$}
\rput(2,-.3){\foo $F$}\rput(-.2,2){\foo $E$}
\rput(1.6,1.3){\foo $H$}\rput(.8,2.7){\foo $I$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item[a.)]Usando semejanza de tri\'angulos.
\item[b.)] Usando Geometr\'ia Anal\'itica.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.92] En el \underline{cuadrado} de la figura, de $100\;
cm$ de lado, el punto $O$ es el centro del \underline{mismo}. El
\'area de la zona sombreada es la quinta parte del \'area del
cuadrado. Calcular la longitud del segmento $\overline{DE}$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4.5)%\psgrid
\psframe(0,0)(4,4)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchangle=0](.68,4)(2,2)(0,1.5)(0,4)
\psline{|-}(.68,4.2)(1.8,4.2)\psline{-|}(2.9,4.2)(4,4.2)
\psdots(2,2)\psdots(0,0)\psdots(0,4)\psdots(4,4)\psdots(4,0)
\psdots(.68,4)\psdots(0,1.5)
\rput(-.2,4.2){\foo $A$}\rput(4.2,4.2){\foo $B$}\rput(4.2,-.2){\foo $C$}
\rput(-.2,1.5){\foo $E$}\rput(-.2,-.2){\foo $D$}\rput(2.34,4.2){\foo $83\;cm$}
\rput(2.2,1.8){\foo $O$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{minipage}{6cm}
\item[2.93] En el tri\'angulo $ABC$, de \'area igual a 20 $cm^2$,
se tiene: $AB=6$cm; $BC=9$cm; $\overline{BD}$ es  la
\underline{bisectriz} del \'angulo $ABC$, y $M$ es el punto medio
de $\overline{BD}$. Hallar el \'area del tri\'angulo $ABM$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(5,3)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(1.8,2.4)(5,0)
\psline(0,0)(3.2,1.4)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchangle=0](0,0)(1.8,2.4)(1.6,0.7)
\rput(1.8,2.7){\foo $A$}\rput(0,-.2){\foo $B$}\rput(5,-.2){\foo $C$}
\rput(3.4,1.6){\foo $D$}\rput(1.6,.5){\foo $M$}
\psdots(1.6,0.7)
\psarc(0,0){.5}{0}{26}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

 \item[2.94] En el tri\'angulo $ABC$ de la figura se tiene:
$AP=PQ=QC$ \ \ y \linebreak $BR=RS=SC$.
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(9.8,3.8)%\psgrid
\pspolygon[linewidth=0.032](0.4,0.4)(9.4,0.4)(3.4,3.4)
\pspolygon[linewidth=0.032,fillstyle=hlines,hatchsep=0.315](3.4,0.4)(5.4,2.4)(7.4,1.4)(6.4,0.4)
\rput(0.4,0.2){$A$}
\rput(3.4,3.6){$B$}
\rput(9.4,0.2){$C$}
\rput(3.4,0.2){$P$}
\rput(6.4,0.2){$S$}
\rput(5.4,2.6){$Q$}
\rput(7.4,1.6){$R$}
\end{pspicture}
\end{center}


Hallar el cociente del a\'rea del tri\'angulo $ABC$ entre el
\'area del cuadril\'atero $PRSQ$.

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.95] Las circunferencias de la figura, de centros $P$ y
$Q$, respectivamente, y radios diferentes, son tangentes entre s\'i.
Adem\'as, una de ellas es tangente al rect\'angulo $ABCD$, en el
punto $T$. Si el \'area del rect\'angulo $ABCD$ es  $36\; m^2$,
¿Cu\'al es el \'area del tri\'angulo rect\'angulo $PQT$?
($D$ y $C$ tambi\'en son puntos de tangencia.)
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5.5,3)%\psgrid
\pscircle(1,1.5){1}\pscircle(3.5,1.5){1.5}
\psframe(0,0)(5,1.5)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchangle=0](1,1.5)(3.5,1.5)(3.5,0)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)\psline(4.8,0)(4.8,.2)(5,.2)
\psdots(1,1.5)\psdots(3.5,1.5)\psdots(3.5,0)
\rput(-.2,-.3){\foo $A$}\rput(5.2,-.3){\foo $B$}
\rput(5.2,1.8){\foo $C$}\rput(-.2,1.8){\foo $D$}
\rput(1,1.8){\foo $P$}\rput(3.5,1.8){\foo $Q$}
\rput(3.5,-.3){\foo $T$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

 \item[2.96]
\begin{enumerate}
 \item[a.)]Un c\'irculo est\'a inscrito en un tri\'angulo cuyos
lados miden, respectivamente, 36 cm, 28 cm y 18 cm. Calcular las
longitudes de los segmentos en que son divididos los lados del
tri\'angulo, por los puntos de contacto con el c\'irculo.\\

\begin{minipage}{6cm}
\item[b.)] En los tri\'angulos $ABC$ y $CED$ tenemos: $DC=CA=1\;cm$,
y $CB=CE=4\;cm$ ¿Cu\'al es \underline{el cociente} entre el \'area
del cuadril\'atero $CAFD$ y el \'area del tri\'angulo ABC?
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.2,4.2)%\psgrid
\psline(0,0)(0,4)(1,0)\psline(0,0)(4,0)(0,1)
\psdots(0,0)\psdots(0,4)\psdots(1,0)
\psdots(4,0)\psdots(0,1)\psdots(.8,.8)
\rput(-.2,-.3){\foo $C$}\rput(1,-.3){\foo $A$}\rput(4,-.3){\foo $E$}
\rput(-.2,1){\foo $D$}\rput(-.2,4){\foo $B$}\rput(1,1){\foo $F$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.97] Los hexágonos de la figura, son \underline{regulares}.
Calcular el cociente entre el \'area del hexág\'ono pequeño y el
\'area del grande.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.4)(5,3.8)%\psgrid
%\pscircle(2,2){2}\pscircle(4,2){2}\pscircle(0,2){2}
\pspolygon(0,2)(1,3.73205)(3,3.73205)(4,2)(3,0.26794)(1,0.26794)
\psline[linestyle=dashed](3,3.73205)(3,1.42)
\pspolygon(3,0.26794)(3,1.42)(4,2)(5,1.42)(5,0.26794)(4,-.32)
\psdots(4,.85)\psdots(2,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.98]
\begin{enumerate}

\item[a.)]Haciendo centro en los puntos medios de los lados de un
cuadrado y, con un radio igual a la mitad de ese lado, se
describen, en su interior, semicircunferencias, que forman una
rosa de cuatro pet\'alos. Hallar el \'area de esa ros\'acea,
sabiendo que la diagonal de cuadrado mide $8\sqrt{2}$cm.
\end{enumerate}
\end{minipage}
 \hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%\psgrid
\psframe(0,0)(4,4)
\psarc[fillstyle=hlines](2,4){2}{180}{270}
\psarc[fillstyle=hlines](0,2){2}{0}{90}
\psarc[fillstyle=hlines](4,2){2}{90}{180}
\psarc[fillstyle=hlines](2,4){2}{270}{360}
\psarc[fillstyle=hlines](0,2){2}{270}{360}
\psarc[fillstyle=hlines](2,0){2}{0}{90}
\psarc[fillstyle=hlines](4,2){2}{180}{270}
\psarc[fillstyle=hlines](2,0){2}{90}{180}
\psdots(0,2)\psdots(2,0)\psdots(4,2)\psdots(2,4)\psdots(2,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
\item[b.)] Dado un cuadrado $ABCD$ de lado 25 cm, hallar el \'area
de la regi\'on sombreada, formada haciendo centro sucesivamente en
$A$ y $C$, y \linebreak describiendo semi-circunferencias de radios
iguales al lado del cuadrado.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4.5)%\psgrid
\psframe(0,0)(4,4)
\psarc[fillstyle=hlines](4,0){4}{90}{180}
\psarc[fillstyle=hlines](0,4){4}{270}{360}
\rput(-.2,-.2){\foo $D$}\rput(-.2,4.2){\foo $A$}\rput(4.2,4.2){\foo $B$}\rput(4.2,-.2){\foo $C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
\item[c.)] Calcular el \'area de la regi\'on comprendida entre 3
circunferencias de radio iguales a $3\;m$, respectivamente, y tangentes
entre s\'i.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,.2)(4,4)%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchangle=0](2,3)(1,1.268)(3,1.268)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,3){1}\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,1.268){1}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](3,1.268){1}
\psdots(2,3)\psdots(1,1.268)\psdots(3,1.268)\psdots(1.5,2.134)
\psdots(2.5,2.134)\psdots(2,1.268)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
\item[d.)] El \'angulo $AOB$ mide $60^o$. $O$ es el centro de la
circunferencia mayor; la circunferencia menor es tangente a los
lados del \'angulo $AOB$ y tangente a la circunferencia mayor.
Hallar el \'area de la regi\'on sombreada, sabiendo que el radio
de la circunferencia mayor es de $36\;cm$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pswedge[fillstyle=hlines,hatchangle=0](2,2){2}{240}{300}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,.665){.665}
\psdots(2,2)\psdots(2,0)\psdots(1.42,1)\psdots(2.58,1)
\psdots(2,.665)
\rput(2,2.3){\foo $O$}\rput(.9,.1){\foo $A$}\rput(3.1,.1){\foo $B$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item[2.99]
\begin{enumerate}
\item[a.)] Los enteros positivos 30, 72 y $N$ tienen la propiedad
de que el producto de dos cualesquiera de ellos es m\'ultiplo del
tercero. ¿Cu\'al es el \underline{menor} valor posible para $N$?

\item[b.)] Se tienen 85 metras, en una caja, y hay: 20 rojas, 30
azules, 20 verdes y de las 15 restantes, algunas son amarillas y
otras, son blancas. ¿Cu\'al es el n\'umero m\'inimo de metras que
deben ser \underline{retiradas} de la caja, sin verle el color,
para que estemos completamente seguros de que \underline{entre
ellas}, hay por lo menos, 15 metras del mismo color?

\end{enumerate}

\item[2.100]\quad  \textbf{Conversaci\'on de dos amigos en un autob\'us.}

\begin{enumerate}
\item[-] Te acababas de casar la \'ultima vez que nos vimos.
¿Niños?

\item[-] Tengo tres.

 \item[-] Guau! ¿Cu\'ales son sus edades?

\item[-] Bien, si  \underline{multiplicas} sus edades,
obtendr\'as el n\'umero 36; pero si  \underline{las suma},
resultar\'a el n\'umero de pasajeros en este autob\'us.

\item[-]Caray, pero no me dijiste lo suficiente para descifrar
sus edades.

\item[-] Cierto. Olvid\'e decirte que mi muchacho mayor es bueno
en Matem\'atica.

\item[-] Aj\'a! Ahora, ya s\'e sus edades.\\

Hallar el n\'umero de pasajeros en el autob\'us, y la edad de los tres hijos.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\newpage


\section{Sugerencias de Taller I}

\begin{enumerate}

\item[1.2]  Resolver la ecuaci\'on $x-\dis\frac{x}{2}=0$.

\item[1.3] Llamando $x$ a los minutos que faltan para la media
noche, tenemos: $$x+10=\dis\frac{5}{3}x.$$

\item[1.4] Notar que la afirmaci\'on es sobre las tarjetas que
tienen una \underline{vocal} en una cara, no nos dicen sobre las
que tienen una \underline{consonante} en una cara.

\item[1.6] Recordar que:
$$\sharp (I\cup F )= \sharp (I) + \sharp (F)- \sharp (I\cap F)$$
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4.5,3)%\psgrid
\pscircle(1.5,1.5){1.5}
\pscircle(3,1.5){1.5}
\psarc[fillstyle=hlines,hatchangle=0](1.5,1.5){1.5}{300}{420}
\psarc[fillstyle=hlines,hatchangle=0](3,1.5){1.5}{120}{240}
\rput(1,1.5){$I$}\rput(3.5,1.5){$F$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item[1.7] $8^{10}= (2^3)^{10}= (2^{10})^3= (1026)^3>
(1000)^3=(10^3)^3=10^9$.

\item[1.8] Notar que la l\'inea de \underline{cuadrados perfectos}
es una buena referencia.

\item[1.9] Los n\'umeros de la \underline{$1^a$ fila} son de la
forma $8(n-1)$, donde, $n$ indica la columna a la cual pertenece
dicho n\'umero.

\item[1.10] Observar con atenci\'on la posici\'on del 3 en el dado
superior, respecto al 3 en el dado de la base. An\'alogamente, ver
c\'omo est\'a ubicado el 6 en el dado superior, en relaci\'on a la
posici\'on del 6 en el dado del medio. ¿C\'omo se pasa de una
posici\'on a la otra ?

\item[1.11] Averiguar sobre la cifra de las unidades del n\'umero
dado.

\item[1.12]\quad$3^{14}+ 3^{13}-12= 3^{12}(9+3)-12=3^{12}\cdot12-12=$


$=12\cdot(3^{12}-1)=12\cdot(3^6+1)(3^6-1)=12\cdot(3^6+1)(3^3+1)(3^3-1)=$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad=12\cdot730\cdot28\cdot26$


\item[1.13]
$11^{10}-1=(11^5+1)(11^5-1)=(11^5+1)(11-1)(11^4+11^3+11^2+11+1)$

\item[1.14] $5^4=(5^2)^2=\textbf{25}^\textbf{2}$; \quad $4^5=(2^2)^5=(2^5)^2=\textbf{32}^\textbf{2}$


\item[1.16] Sea $d$ la distancia a nadar.

Llamemos \ \ $V_c$,\ \  a la velocidad de la corriente.

Llamemos \ \ $V_n$,\ \  a la velocidad del nadador, respecto a la
corriente.\\ Entonces, usando la igualdad:

distancia=velocidad$\cdot$ tiempo, tenemos:

\[\left\lbrace
  \begin{array}{l l}
    d=(V_n+V_c)\cdot5&\\
    d=(V_n-V_c)\cdot15; & \mbox{se pide hallar }\dis\frac{d}{V_n}.
  \end{array}
\right. \]

\item[1.17] Se hacen grupos de 3 bolas cada uno.

\item[1.18] Imaginar el peor de los casos: se han sacado 5 medias,
todas de diferente color.

\item[1.19] Llamando $h$, a la altura del \'arbol, tenemos:
$$h=3h-2$$

\item[1.20] Sea \ \ $ab$ \ \ el n\'umero buscado. Escrito en la forma
$10a+b$, queremos: \linebreak $10a+b=b^2$,\ \  o\ \  sea,\ \
10a=b(b-1). Entonces, para $b$ resultan  las posibilidades:\\ $b=5$\
\  \'o\ \  $b=6$.

\item[1.21] Se tiene: $10a+b-(10b+a)=\dis\frac{20}{100}(10b+a) $

\item[1.22] ¿C\'omo queda $(3^x+3^{-x})^2$?

\item[1.23] Sea $ab$ el n\'umero. Se tiene:
$$10a+b=2a\cdot b,\qquad \mbox{o sea,}$$
$$10a=b(2a-1).$$
Notar, adem\'as, que $2a-1$ es impar, por lo que $b$ no puede ser
igual a 5.

\item[1.24] Si el señor no retrocede, ¿cu\'anto habr\'a recorrido,
del puente, hasta el instante en que el tren llega al puente?

\item[1.25] Tomar en cuenta que en un tri\'angulo, cada lado es
menor que la suma de los otros dos.

\item[1.27] ¿Cu\'anto mide el \'angulo $DAC$?

\item[1.28] Unir $R$ con $Q$. ¿Qu\'e de especial tiene el
tri\'angulo $RPQ$? Luego, proyectar, horizontalmente, el punto Q
sobre la pared opuesta (llame $T$ a esa proyecci\'on). Comparar,
ahora, los tri\'angulos rect\'angulos $RTQ$ y $RSP$.

\item[1.34] Llamando $x$, a la longitud de la escalera, resulta el
tri\'angulo rect\'angulo:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(2,3)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,3)(2,0)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(1,-.3){$1$}\rput(-.5,1.5){$x-\frac15$}\rput(1.5,1.5){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
(expresando las distancias en metros)

\item[1.35] Llamando $x$ a la longitud del lado $\overline{BC}$,
en el tri\'angulo $ECB$ tenemos:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,2)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(3,2)(3,0)
\psline(2.8,0)(2.8,.2)(3,.2)
\rput(1.2,1.2){$1$}\rput(1.5,-.3){$\sqrt{1-x^2}$}\rput(3.3,1){$x$}
\psarc[doubleline=true](0,0){.5}{0}{30}
\psarc(3,2){.5}{210}{270}
\end{pspicture}
\end{center}

Mientras que, en el tri\'angulo $ADE$:

\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,2)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,2)(3,0)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(-.3,1){$x$}\rput(1.7,1.2){$2$}\rput(1.5,-.3){$\sqrt{4-x^2}$}
\psarc[doubleline=true](0,2){.5}{270}{330}
\psarc(3,0){.5}{150}{180}
\end{pspicture}
\end{center}
Pero, ambos tri\'angulos son semejantes.

\item[1.36] $\cos \widehat{EBD} = -\cos (\alpha+\beta)= -\cos
\alpha \cos\beta+ \sin \alpha\sin \beta$. As\'i que, hallando $AB$
y $BD$ queda resuelto el problema.

\item[1.37] Tenemos: $750\cdot x=\dis\frac{5}{12}\cdot750^2 $.

La longitud buscada es: $\sqrt{750^2+x^2}$
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6.5,-1.5)(-2.5,2.5)%\psgrid
\pspolygon(-6,-1)(-6,0.5)(-3,-1)%
\pspolygon(-6,2)(-3,2)(-3,0.5)%
\psline(-6,2)(-6,0.5)
 \psline(-3,0.5)(-3,-1)
\psline[showpoints=true,linestyle=dotted](-6,1.3)(-3,-0.3)
\rput(-6.2,1.3){\small{\foo$A$}}
\rput(-2.8,-0.3){\small{\foo$B$}}\rput(-2.7,1.3){\foo $x$}\rput(-4.5,2.3){\foo $750$}
\psline(-3.2,2)(-3.2,1.8)(-3,1.8)
\end{pspicture}
\end{center}
\item[1.38] \[\left\lbrace
  \begin{array}{l l}
    \Bigg(\dis\frac{30 +30-\dis\frac{x}{2}}{2}\Bigg) \ y=250\sqrt{3}&\\
    &\\
    y^2+\dis\frac{x^2}{4}=x^2& .
  \end{array}
\right. \]
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6.4,-1)(-2.2,2.5)%\psgrid
\pspolygon(-6,-1)(-6,2)(-4,-1)%
\pspolygon(-6,2)(-2,2)(-2,-1)(-4,-1)%
\rput(-6.3,.5){\foo $y$}
\rput(-4.7,.5){\foo $x$}
\rput(-5,-1.3){\foo $\frac{x}{2}$}
\rput(-3,-1.3){\small{\foo$30-\frac x2$}}
\rput(-4,2.3){\small{\foo$30$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\item[1.39] Hecho clave: el \'area del tri\'angulo mayor es igual
a la suma de las \'areas de los otros dos tri\'angulos.

\item[1.40] Desenrrollando la espiral obtenemos el tri\'angulo
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,2)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,2)(3,0)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(1.5,-.3){\foo $21$}\rput(-.3,1){\foo $20$}\rput(1.8,1){\foo ?}
\end{pspicture}
\end{center}



\item[1.41] Los dos tri\'angulos rect\'angulos de la figura son
semejantes (para probarlo se usa la ley f\'isica de la reflexi\'on
de la luz).

\item[1.42] Los tri\'angulos: $P_1OS_1$\ \  y \ \ $P_2OS_2$ son
semejantes.

\begin{minipage}{6cm}
$OP_1=7.2\;m$

$OS_1=11.2\;m$

$S_2S_1=4.2\;m$

$P_1P_2=?\;m$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(5,3.5)%\psgrid
\pspolygon[showpoints=true](0,0)(0,3)(5,0)
\psline[showpoints=true](0,0)(0,2)(3.33333,0)
\rput(-.3,-.3){\foo $O$}\rput(-.3,2){\foo $P_2$}\rput(-.3,3.3){\foo $P_1$}
\rput(3.33333,-.3){\foo $S_2$}\rput(5.3,-.3){\foo $S_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item[1.43] Los tri\'angulos $MDA$ y  $RQA$ son semejantes.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-.5)(-2.5,3.2)%\psgrid
\psframe(-6,0)(-3,3)
\psline(-6,1.5)(-3,3)
\psline(-4,2.5)(-4,0)
\psline[linestyle=dashed](-4,2.5)(-3,2.5)
\rput(-4.2,2.7){\foo $R$}
\rput(-4,-0.3){\foo $N$}
\rput(-2.8,-0.3){\foo $B$}
\rput(-6.3,-0.3){\foo $C$}
\rput(-6.3,3.3){\foo $D$}
\rput(-2.8,3.3){\foo $A$}
\rput(-6.3,1.5){\foo $M$}
\rput(-2.7,2.5){\foo $Q$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[1.44] Los tri\'angulos $BAE$ \ \ y\ \  $BFC$ son semejantes. Esto
permite hallar $FB$.

\item[1.46] Usar la semejanza de los tri\'angulos: $CBF$ \ \ y\ \  $EAF$.

\item[1.47] El tri\'angulo $CME$ es semejante al tri\'angulo
$CFA$.

\item[1.48] Usando el \underline{Teorema de la bisectriz},
tenemos: $\dis\frac{24}{x+9}=\dis\frac{30}{2x}$, y as\'{i} que $x=15$. Pero eso nos lleva a un absurdo, al interpretar la figura.


\item[1.49] En virtud del Teorema de la bisectriz:
$\dis\frac{EF}{DE}=\dis\frac{FC}{DC}.$\\ Adem\'as,
$EF+FC=\sqrt{21^2+28^2}=35.$


\item[1.50] Primero, probar que $G$ es el punto medio de $AB$;
luego, aplicar el Teorema de la bisectriz, en el tri\'angulo
$GBC.$

\item[1.51]  Hallar $AC$, y luego, el \'area del tri\'angulo
$DAC$.

\item[1.52] Sea $h_1,h_2,h_3$, las edades respectivas de los hijos
de Juan.\\ Al cabo de $t$ años, la  edad de Juan ser\'a :\ \
$40+t$,\ \ y la suma de las edades de los hijos de Juan será :
$22+t+t+t.$

\item[1.53] Sea $v:$ el n\'umero de vacas.

\qquad$g:$ el n\'umero de gallinas.

Entonces: $v+g-53= \dis\frac{1}{4}(4v+2g)$


\item[1.54] Sea $x$, el n\'umero de monos. Tenemos:
$$\left(\dis\frac{x}{8}\right)^2+12=x$$

\item[1.55] Tenemos: $x^2+18=(x+1)^2-23$.

Despu\'es de hallar $x$, el número de alumnos viene dado por
cualquiera de los resultados:\ \ $x^2+18$\ \ \'o \ \ $(x+1)^2-23.$

\item[1.56] Sea $x$ mi edad actual. Entonces $(x-3)$ era mi edad
hace tres años; mientras que $x+3$ ser\'a mi edad dentro de tres
años.

Luego: $3(x-3)-(x+3)=x.$

\item[1.57] Resulta
\[\left\lbrace
  \begin{array}{l l}
    x-y=5&\\
    x+y=-3& .
  \end{array}
\right. \]

\item[1.59] $(x+1)^5=x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

$ \therefore \; (x+1)^5-10x-10=0$ $ \therefore \;
(x+1)\left[(x+1)^4-10\right]=0$

\item[1.60] $x(x+1)(x+2)(x+3)=131^2-1=132\cdot130=10\cdot11\cdot12\cdot13.$

\item[1.61] $(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3$

\item[1.63] Sean: \\ $x=$número de sobres en cada caja,\\
 $y=$ número de hojas en cada caja.\\
Luego,
 \[\left\lbrace
  \begin{array}{l l}
    x+50=y&\\
    \dis\frac{y}{3}+50=x& .
  \end{array}
\right. \]

\item[1.64] Sean: \\
$x=$ n\'umero de preguntas del examen.\\
 $y=$ valor de cada pregunta.

Entonces:\ \ \  $9y+\dis\frac{3}{10}(x-10)y=\dis\frac{1}{2}xy$


\begin{minipage}{6cm}
\item[1.65]Se cumple:  \[\left\lbrace\begin{array}{l l}
    10y=30x&\\
    (10+x)y=1800& .
  \end{array}
\right. \]
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-2.5)(3.5,3.5)%\psgrid
\pspolygon[](0,0)(0,3)(3,3)(3,0)
\pspolygon[](1,0)(1,-2)(3,-2)(3,0)
\psline[](1,3)(1,0)
\psline[]{<-}(0,3.3)(.1,3.3)
\psline[]{->}(0.9,3.3)(1,3.3)
\psline[]{<-}(3.5,0)(3.5,-.8)
\psline[]{->}(3.5,-1.2)(3.5,-2)
\psline[]{<-}(-.3,0)(-.3,1.3)
\psline[]{->}(-.3,1.7)(-.3,3)
\psline{<-}(1,-2.3)(1.8,-2.3)
\psline{->}(2.2,-2.3)(3,-2.3)
\rput(-.3,1.5){\foo $y$}
\rput(2,-2.3){\foo $x$}
\rput(3.5,-1){\foo $30\; m$}
\rput(0.5,3.3){\foo $10 \;m$}
\psframe[linestyle=none,fillstyle=hlines](1,-2)(3,0)
\psframe[linestyle=none,fillstyle=hlines](0,0)(1,3)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}




\item[1.66] Seg\'un el Teorema del \'angulo inscrito,
$\sphericalangle ROT=132^o$.

\item[1.68] Proyectando, horizontalmente, el punto $R$ sobre
$\overline{PM}$, llamemos $S$ a esta proyecci\'on, nos queda el
tri\'angulo rect\'angulo $RSM$:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,2)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,2)(3,0)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(-.3,-.3){\foo $S$}\rput(-.3,2.3){\foo $M$}\rput(3,-.3){\foo $S$}\rput(-.3,1){\foo $6$}\rput(1.9,1){\foo $10$}
\end{pspicture}
\end{center}


\item[1.69] Tomar en cuenta que, resultan: $CN=CP$  y  $BP=BM$.

\item[1.70] Comparar los \textbf{tri\'angulos rect\'angulos}: $APB$
y $AQD$.

\item[1.71] El \'area no sombreada es igual a $\dis\frac{3}{4}$
del \'area del c\'irculo, m\'as el \'area del cuadrado de lado
igual al radio del c\'irculo.

\item[1.72] Llamemos $x$, al radio de la circunferencia menor \ \ y\
\ $O'$, a su centro. Entonces, proyectando $O'$, horizontalmente,
sobre $\overline{OT}$ (sea R, dicha proyecci\'on), obtenemos el
tri\'angulo rectángulo $ORO'$:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,3)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,3)(3,0)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(-.3,-.3){\foo $R$}\rput(-.3,3.3){\foo $O$}\rput(3.3,-.3){\foo $O'$}\rput(-.5,1.5){\foo $1-x$}\rput(1.5,-.3){\foo $1-x$}\rput(2,1.5){\foo $1+x$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[1.73]\ \

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(8,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psframe(.8,.4)(4,3.6)
\pspolygon(6,1)(6,3)(7.5,3)
\psline(6,2.8)(6.2,2.8)(6.2,3)
\psline[linestyle=dashed](.8,2)(4,2)
\psline[linestyle=dashed](.8,.4)(2,2)
\psdots(2,2)\psdots(.8,.4)\psdots(4,3.6)
\psdots(4,2)\psdots(.8,3.6)\psdots(4,.4)
\rput(.6,3.9){\foo $A$}
\rput(.6,.1){\foo $D$}
\rput(4.2,.1){\foo $C$}
\rput(4.2,3.9){\foo $D$}
\rput(4.2,2){\foo $T$}
\rput(5.7,2){\foo $\dfrac x2$}
\rput(6.75,3.3){\foo $x-5$}
\rput(7,2){\foo $5$}
\rput(.6,2){\foo $M$}
\rput(5.8,3.2){\foo $M$}
\rput(5.8,.8){\foo $D$}
\rput(7.7,3.2){\foo $O$}
\rput(2.2,2.2){\foo $O$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[1.74]\ \

\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(8.5,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psline{*-*}(0,2)(0,0)(3.6,0)(3.6,.8)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\psline(3.4,0)(3.4,.2)(3.6,.2)
\psline[linestyle=dashed](2,.8)(3.6,.8)(2,2)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2)
\psdots(2,2)\psdots(2,0)\psdots(0,0)\psdots(3.6,0)
\rput(-.2,2){\foo $C$}\rput(-.2,-.2){\foo $A$}\rput(2,-.2){\foo $D$}
\rput(3.8,-.2){\foo $E$}\rput(3.8,.7){\foo $B$}\rput(2.1,2.1){\foo $O$}
\rput(1.7,.7){\foo $B'$}
\pspolygon(6,1.25)(6,2.75)(8,1.25)
\psline(6.2,1.25)(6.2,1.45)(6,1.45)

\rput(5.8,1){\foo $B'$} \rput(8.2,1){\foo $B$}\rput(5.8,3){\foo $O$}
\rput(7,1){\foo $54-x$}\rput(7.2,2.2){\foo $x$}\rput(5.3,2){\foo $x-12$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[1.75]\ \

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(2.5,3)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(2,3)(2,0)
\psline(1.8,0)(1.8,.2)(2,.2)
\rput(1,-.3){\foo $r$}\rput(.2,1.5){\foo $r+1$}\rput(2.3,1.5){\foo $3$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[1.76] Tomar en cuenta que:\ \ $\log_{a}b+\log_{a}c=\log_{a}(bc)$\
\ y\ \ $\tan \alpha=\cot (90^{\circ} - \alpha)$

\item[1.78] Sea $\alpha= \sqrt[3]{2 + \dis\frac{10}{9}\sqrt{3}}+
\sqrt[3]{2-\dis\frac{10}{9}\sqrt{3}}$.

Probar que $\alpha^3-2\alpha-4=0$

Es decir, $\alpha$ es \underline{ra\'iz real} del polinomio
$$x^3-2x-4.$$
Pero, usando la Regla de Ruffini, podemos encontrar que:
$$x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2).$$
As\'i que, dicho polinomio tiene una sola \underline{ra\'iz real}:
el 2.

Pero ya vimos que $\alpha$ es \underline{ra\'iz real} de
$$x^3-2x-4.$$
Conclusi\'on: $\alpha=2.$

\item[1.80] $log_{6}2+log_{6}3$

\item[1.81]
$\left(\dis\frac{2x+3}{3x+2}\right).\left(\dis\frac{2x+3}{3x+2}+1\right)=0$

$\therefore
\left(\dis\frac{2x+3}{3x+2}\right).\left(\dis\frac{5x+5}{3x+2}\right)=0
$

\item[1.82] $x^{100}-x^2-4^x(x^{98}-1)=0$

 $\therefore x^2(\textbf{x}^\textbf{98}
\textbf{- 1})-4^x(\textbf{x}^\textbf{98} \textbf{-1})=0$

$\therefore (x^2-4^x).(x^{98}-1)=0$

$\therefore \underbrace{x^2-4x=0}_{una\;solucion\;real}$ \qquad\'o
$\underbrace{x^{98}-1=0}_{dos\;soluciones\;reales}$

\item[1.83] Observe la $1^a$ fila: \begin{tabular}{l|r}
  \hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  10 & 1.6610
\end{tabular}

y la \'ultima fila: \quad\begin{tabular}{l|r}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  160 & 3.6610 \\

\end{tabular}

\item[1.84] Llamemos $a,b$ y $c$, \underline{respectivamente}, a
la fracci\'on del trabajo, realizado en \underline{un d\'ia}, por
$A$, $B$ y $C$.\\ Tenemos: \[\left\lbrace\begin{array}{l l}
    a+b=\dis\frac{1}{10}&\\\\

    a+c=\dis\frac{1}{12}& \\\\

    b+c=\dis\frac{1}{15}.
  \end{array}
\right. \]

\item[1.85] Se puede partir de $2<x<4$ y llegar a
$\dis\frac{4}{x-2}>2$.

\item[1.86] \begin{enumerate}

\item[a.-] Sea $x$, el n\'umero de l\'apices que ten\'ia la caja.

¿Qu\'e representa el n\'umero $\dis\frac{3000}{x}$?

¿Qu\'e representa el n\'umero $\dis\frac{3000}{x}+60$?

¿Qu\'e interpretaci\'on tiene la expresi\'on
$$(x-5).\left(\dis\frac{3000}{x}+60\right)?$$

\item[b.-] Sea $x$, el n\'umeros de sobrinos de jos\'e.

¿C\'omo est\'an relacionadas las expresiones
$$\dis\frac{480}{x}\;\ \  y\; \ \  \dis\frac{480}{x-6}?$$
\end{enumerate}

\item[1.87] \begin{enumerate}

\item[a.-] Se trata de hallar el m.cm de 12, 18 y 20

 \item[b.-]La respuesta requerida no es otra que el $M.C.D$ de 36
y 48.
\end{enumerate}
\item[1.90] $\left(%
\begin{array}{c}
  5 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$$\cdot\left(%
\begin{array}{c}
  7 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$$\cdot\left(%
\begin{array}{c}
  3 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)$

\item[1.91] Consideremos los dos libros de Matem\'aticas como
formando un solo ``bloque''. De manera que se trata, \underline{en
principio}, de permutar 5 objetos, lo cual dar\'a origen a 5!
maneras de colocarlos en el estante. Pero no hay que olvidar que
podemos permutar los libros de Matem\'aticas entre s\'i. De manera
que la respuesta es 2!.5!.

\item[1.92] El n\'umero total de anagramas es 8!. de manera que el
tiempo (en d\'ias) que tardar\'a la persona en escribirlos es:
$\dis\frac{8!}{60\cdot 24}$ d\'ias.

\item[1.93] Los tri\'angulos se forman eligiendo dos v\'ertices
\underline{en una de las rectas}, y el tercer v\'ertice en la
\underline{otra recta}. Por eso la respuesta viene dada por:
$$\left(%
\begin{array}{c}
  10 \\
  2 \\
\end{array}%
\right).\left(%
\begin{array}{c}
  8 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)+\left(%
\begin{array}{c}
  8 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)\left(%
\begin{array}{c}
  10 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)$$

\item[1.94] En cuanto a las disciplinas:

puede elegir: Matem\'atica y F\'isica

\qquad\qquad\quad Matem\'atica y Qu\'imica

\qquad\qquad \quad F\'isica y Qu\'imica

Por eso, la respuesta es:


$$\left(%
\begin{array}{c}
  7 \\
  5 \\
\end{array}%
\right).\left(%
\begin{array}{c}
  5 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)+\left(%
\begin{array}{c}
  7 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)\left(%
\begin{array}{c}
  10 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)+\left(%
\begin{array}{c}
  5 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)\left(%
\begin{array}{c}
  10 \\
  1 \\
\end{array}%
\right)$$

\item[1.95] Formemos, con los 2 libros de Álgebra y el de
Geometr\'ia, un solo ``bloque''. De manera que se trate de permutar
6 objetos, lo cual produce 6! modos diferentes de ordenar los
objetos en el estante; pero no olvidemos que podemos, en cada
``\underline{bloque}'', permutar los libros de Álgebra entre s\'i.
Luego, la respuesta es: 2!.6!.

\item[1.96] Consideremos el m\'etodo de las casillas.

$\underbrace{A\mbox{\'o}B}_ {1^a}\cdot\underbrace{A\mbox{\'o}B}_
{2^a}\cdot \underbrace{5\; \mbox{opciones}}_ {3^a}\cdot
\underbrace{4 \;\mbox{opciones}}_ {4^a}\cdot \underbrace{3\;
\mbox{opciones}}_ {5^a}\cdot\underbrace{ 2\; \mbox{opciones}}_
{6^a}$

Las dos primeras casillas son para las letras. En cada una de
ellas puede ir la $A$ o la $B$.

Cada una de las casillas restantes debe ser ocupada por un
n\'umero del conjunto $\left\{0,2,4,6,8\right\}.$

 Por eso, para la tercera casilla hay 5 opciones.

Una vez ocupada la $3^a$ casilla, para la $4^a$ casilla quedan  4
opciones (recordar que no deben haber repetici\'on de n\'umeros).
An\'alogamente, para la $5^a$ casilla hay 3 posibilidades (una vez
llenadas la $3^a$ y la $4^a$  casillas ). Por \'ultimo, ya ocupadas
las casillas anteriores, para la $6^a$ casilla quedan 2 opciones. En
total, el n\'umero de placas diferentes viene dado por
$2\cdot2\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2$

\item[1.97] Podemos llegar al resultado de dos maneras:
\begin{enumerate}

\item Consideremos \underline{todas} las combinaciones posibles de
6 de las 10 sustancias y le restamos el n\'umero de combinaciones
en las cu\'ales est\'an presentes las dos sustancias que producen
explosi\'on, es decir:

$$\left(%
\begin{array}{c}
  10 \\
  6 \\
\end{array}%
\right)-\left(%
\begin{array}{c}
  8 \\
  4 \\
\end{array}%
\right)$$

\item Formamos combinaciones de 6 sustancias, sin tomar en cuenta
las dos sustancias peligrosas. Al n\'umero anterior, debemos añadir
el n\'umero de casos en que se toman s\'olo 5 de las sustancias
(entre la cuales figuran las ``prohibidas'') y le añadimos s\'olo
una de las sustancias problem\'aticas; o sea:

$$\left(%
\begin{array}{c}
  8 \\
  6 \\
\end{array}%
\right)+2\left(%
\begin{array}{c}
  8 \\
  5 \\
\end{array}%
\right)$$

\end{enumerate}


\item[1.98] La respuesta viene dada por:

$$\left(%
\begin{array}{c}
  6\\
  1 \\
\end{array}%
\right)+\left(%
\begin{array}{c}
  6 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)+\left(%
\begin{array}{c}
  6 \\
  3 \\
\end{array}%
\right)+\left(%
\begin{array}{c}
  6 \\
  4 \\
\end{array}%
\right)+\left(%
\begin{array}{c}
  6 \\
  5 \\
\end{array}%
\right)+\left(%
\begin{array}{c}
  6 \\
  6 \\
\end{array}%
\right),$$

lo cual es igual a $ (1+1)^6-\left(%
\begin{array}{c}
  6 \\
  0 \\
\end{array}%
\right)$

\item[1.99] \begin{enumerate}

\item Los n\'umeros deben terminar en 1, 3 \'o 5. De manera que
empleando el m\'etodo de las casillas, $\underbrace{   }_{1^a} $
$\underbrace{   }_{2^a} $ $\underbrace{   }_{3^a};$ para llenar la
${3^a}$ casilla hay 3 opciones, pero para llenar cada una  de las
otras casillas, tenemos 5 posibilidades. Luego, la respuesta es:
$5\cdot 5\cdot 3.$

\item Ahora, la respuesta cambia, pues, para llenar la ${3^a} $
casilla, tenemos de nuevo 3 posibilidades; pero una vez ocupada la
${3^a} $ casilla, para ocupar la ${2^a}$ quedan 4 opciones, y,
ocupadas la ${2^a}$ y ${3^a}$ casillas, la ${1^a}$ puede llenarse de
3 maneras diferentes. as\'i, el resultado, ahora es:
$3\cdot4\cdot3.$


\end{enumerate}

\item[1.100] Para cada barra, hay dos posibilidades (que sea
blanca o que sea negra). de modo que el n\'umero \underline{total}
de c\'odigos ser\'ia:
$$2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=2^6=64$$
Pero como debemos descartar los casos en que \underline{todas} las
barras sean blancas o todas las barras sean negras, quedan en
definitiva, 62 c\'odigos distintos.

\newpage
\section{Sugerencias de Taller II}
\item[2.1]
$\sqrt{(2000+3)(2000+1)(2000-1)(2000-3)+16}=\\=
\sqrt{(2000^2-1)(2000^2-9)+16}=$

$=\sqrt{2000^4-10\cdot2000^2+25}$

\item[2.6]
$f\left(\dis\frac{242}{243}\right)=f\left(1-\dis\frac{1}{243}\right)$;
luego, aplicar \ $c$\ \ y\ \  $b$, y continuar hasta llegar a
utilizar que $f(0)=0.$

\item[2.7]  $f(5)=f(0+5)=f(0).f(5) \;\therefore\; f(0)=1$

$f(0)= f(5+(-5))=f(5).f(-5).$


\item[2.13]
$\textbf{f(5,5)}=f(4+1,5)=5\left[f(4,5)+f(4,4)\right]=5\textbf{f(4,4)}=5f(3+1,4)=$

$=5\cdot4[f(3,4)+f(3,3)]=5\cdot4\cdot f(3,3)$, \ \  y as\'i se
continúa ...

\item[2.15] Sea $x$ el n\'umero de cajas de l\'apices.

¿Qu\'e indican las expresiones: $\dis\frac{18000}{x}$\ \ y\ \  $
\dis\frac{18000}{x-6}$?

¿C\'omo est\'an relacionadas dichas expresiones?

\item[2.16] Sea $x$ el n\'umero de huevos que compr\'o la señora.

¿Qu\'e significan las cantidades: $\dis\frac{6000}{x}$\ \ y \ \ $
\dis\frac{6000}{x-2}$?

¿Qu\'e  conexi\'on hay entre ellas?

\item[2.17] \underline{En una hora}:
\begin{enumerate}
\item[] el primer surtidor llena $\dis\frac{1}{30}$ de la piscina.

 \item[] el segundo surtidor llena $\dis\frac{1}{40}$ de la
piscina.

 \item[] el tercer surtidor llena $\dis\frac{1}{120}$ de la
piscina.

\end{enumerate}

 \item[2.18] Sean: $P$, el n\'umero de saltos que dar\'a el perro.

 \qquad \quad$Z$, el n\'umero de saltos que dar\'a el zorro.

 Entonces: $\dis\frac{Z}{P}=\dis\frac{4}{3}.$

 Adem\'as, sean: $l_P$, la longitud de un salto del perro.

 \qquad\qquad\qquad $l_Z$, la longitud de un salto del zorro.

 Entonces, $2l_P=3l_Z$.

 ¿Q\'ue representan las expresiones $P.l_P$ \ \ y\ \  $50l_Z+Zl_z$?

 ¿C\'omo est\'an relacionadas dichas expresiones?

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(10,.5)%\psgrid
\psline[showpoints=true](0,0)(10,0)
\psdots(2,0)\rput(0,-.3){\foo Perro}\rput(2,-.3){\foo Zorro}
\rput(10,-.3){\foo Zorro}\rput(10,.3){\foo Perro}
\end{pspicture}
\end{center}
 \item[2.19] Los n\'umeros que aparecen en las matr\'iculas son:

 \qquad I, 0,8, 6, 9 (al voltearlos se convierten en I, 0, 8, 9,
6, respectivamente)

Representamos la matr\'icula original por:
$$X_1X_2X_3X_4X_5,$$
y la matr\'icula invertida, por:
$$X'_5X'_4X'_3X'_2X'_1,\mbox{donde,} $$

$X'_n$ es la cifra que resulta de dar la vuelta a $X_n.$

Tenemos: \begin{tabular}{cccccc}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
   & $X'_5$& $X'_4$ & $X'_3$ &$ X'_2$ & $X'_1$ \\

  $-$ & $X_1$ & $X_2$ & $X_3$ &$ X_4$ & $X_5$ \\
     \hline

     & 7 & 8 & 6 & 3 & 3 \\
 \end{tabular}

Luego, $X'_5-X_1=7$ (u 8, si hay arrastre)

De modo que las posibilidades son:

\begin{tabular}{cccc}
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  $X'_5=8$ &y  & $X_1=1$ &$ (X_5=8,\; X'_1=1)$\\

  $X'_5=8$ &y  & $X_1=0$& $(X_5=8,\; X'_1=0)$\\

  $X'_5=9$ &y  & $X_1=1$ & $(X_5=6,\; X'_1=1)$\\
\end{tabular}

 Pero, adem\'as, debe cumplirse que: $$X'_1-X_5=3$$ Ello obliga a
elegir la primera posibilidad.

As\'i que, podemos escribir:

\begin{tabular}{cccccc}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
    &8&$X'_4$ & $X'_3$ &$ X'_2$ & I \\

  $-$ &I& $X_2$ & $X_3$ &$ X_4$ & 8 \\
     \hline

     & 7 & 8 & 6 & 3 & 3 \\
 \end{tabular}

Ahora, se necesita que $X'_2-X_4=3$.

Para ello (como se ha prestado I decena), debe ser

$X'_2=0\; (\therefore\; X_2=0)$

$X_4=6\; (\therefore\; X'_4=9),$

Y las cosas van as\'i:


\begin{tabular}{cccccc}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
    &8&9 & $X'_3$ &O & I \\

  $-$ &I& O & $X_3$ &6 & 8 \\
     \hline

     & 7 & 8 & 6 & 3 & 3 \\
 \end{tabular}

$\therefore X'_3=6\;\; (\therefore\; X_3=9)$


\item[2.21] Sean:\\ $h$, el n\'umero de hombres en la Asamblea;\\
$m$, el n\'umero de mujeres en la Asamblea.

Tenemos: \[\left\lbrace\begin{array}{l l}
    2(m-15)=h&\\\\

    5(h-45)=m-15.&
  \end{array}
\right. \]

\item[2.22] $16555=5\cdot7\cdot11\cdot43$

\item[2.24] los n\'umeros de la \underline{segunda} fila son de la
forma:

\qquad $1000+4(n-1)$ y los de la \underline{tercera} fila:
$20+7(n-1),$\\ donde, $n$ indica la columna a la cual pertenece
dicho n\'umero.

De manera que se trata de hallar el primer $n$ que cumple:

\qquad \qquad \qquad$20+7(n-1)>1000+4(n-1)$

\item[2.25]
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,2.5)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,2)(3,0)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(-.3,1){\foo $x$}\rput(1.5,-.3){\foo $\frac12$}\rput(2.2,1){\foo $1-x$}
\rput(-.3,-.3){\foo $B$}\rput(3.3,-.3){\foo $M$}\rput(-.3,2.3){\foo $P$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item[2.26] Sea $x$, la edad actual de Ana. Entonces, cuando Ana
ten\'ia 12 años, la edad de Isabel era $x$. Desde ese momento hasta hoy han \linebreak transcurrido $24-x$ años.

¿A qu\'e es igual la cantidad $12+24-x$?

\item[2.27] $4^x-2^x=56,$ es lo mismo que $(2^x)^2-2^x=56.$

Ahora, hacemos $2^x=y$.

\item[2.37] \underline{Para $n=1$}, $\sum_{k=1}^n k!$ se reduce a
$1=\textbf{1}^\textbf{2}$.

Para $n=2$, $\sum_{k=1}^n k!$ es $1!+2!=3$.

\underline{Para $n=3$}, $\sum_{k=1}^n k!$ es
$1!+2!+3!=9=\textbf{3}^\textbf{2}$.

Para $n=4$, $\sum_{k=1}^n k!$ es $1!+2!+3!+4!=33$.

Para $n>4$, se tiene que en  $\sum_{k=1}^n k!$, al n\'umero  33 se
le suman \underline{n\'umeros} \underline{que terminan en cero};
luego, nunca se obtendr\'a un cuadrado perfecto.

\item[2.38]

\begin{enumerate}
\item[a.-] Cada funci\'on de $A$ en $A$ se puede identificar con
una cuaterna $( \ ,\  ,\  ,\  )$, en donde, si $
A=\left\{x_1,x_2,x_3,x_4\right\}$, en la primera casilla se coloca
$f(x_1)$; en la segunda, $f(x_2)$; y as\'i, sucesivamente. Como no
queremos que se tenga $f(x_i)=x_i$, para llenar cada casilla tenemos
tres posibilidades. Luego, la respuesta es: $3\cdot3\cdot3\cdot3$, o
sea, 81.

 \item[b.-] Tomamos el alumno $X$, lo juntamos con 3 alumnos (los
cuales podemos elegir de $ \left(%
\begin{array}{c}
  9 \\
  3 \\
\end{array}%
\right) $ maneras)\ \  y\ \  2  alumnas ( las cuales  podemos escoger de $ \left(%
\begin{array}{c}
  4 \\
  2 \\
\end{array}%
\right) $ modos).

As\'i, la respuesta es $ \left(%
\begin{array}{c}
  9 \\
  3 \\
\end{array}%
\right). \left(%
\begin{array}{c}
  4 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$


\end{enumerate}


 \item[2.39]
 \begin{enumerate}
 \item[a.-] Cada funci\'on la visualizamos como una terna:
$(f(1),f(2),f(3))$.

Para cada una de las casillas tenemos 5 posibilidades, luego, la
respuesta es:

\qquad\qquad $5\cdot5\cdot5$ funciones.

 \item[b.-] $f(1),f(2),f(3)$.

 Para $f(1)$ tenemos 5 posibilidades.

 Una vez elegido $f(1)$, para $f(2)$ quedan 4 posibilidades. Y,
elegidas $f(1)$ y $f(2)$, para $f(3)$ hay 3 posibilidades. As\'i
que, en este caso, la respuesta es: $5\cdot4\cdot3$ funciones
inyectivas.

 \item[c.-] $(f(1),f(2),f(3))$

 \begin{tabular}{ccc}
    % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
   $(8,9,f(3))$& $\longrightarrow$ & 3 posibilidades para $f(3)$ \\
   $(8,10,f(3))$& $\longrightarrow$ & 2 posibilidades para $f(3)$ \\
   $(8,11,f(3))$& $\longrightarrow$ & 1 posibilidad para $f(3)$ \\
  $(9,10,f(3))$& $\longrightarrow$ & 2 posibilidades para $f(3)$ \\
  $(9,11,f(3))$& $\longrightarrow$ & 1 posibilidad para $f(3)$ \\
  $(10,11,f(3))$& $\longrightarrow$ & 1 posibilidad para $f(3)$ \\

 \end{tabular}

En total, 10 funciones estrictamente crecientes.


 \end{enumerate}

\item[2.40] Como hay una letra que aparece 3 veces, el n\'umero de
anagramas es: $\dis\frac{9!}{3!}$, o sea,
$9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4$.

Luego, el tiempo en d\'ias es:

\qquad $\dis\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}{60\cdot24}$
d\'ias, es decir, 42 d\'ias.

\item[2.41] sean: $x$, n\'umero de mandarinas compradas.

\qquad $y$, n\'umero de mangos comprados.

\qquad $z$, n\'umero de manzanas compradas.

\qquad $t$, n\'umero de cambures comprados.

Se trata pues, de hallar el n\'umero de soluciones
\underline{enteras}, \underline{no negativas}, de la ecuaci\'on:

\qquad\qquad $x+y+z+t=6$, que sabemos que son:

\qquad \qquad $\dis\frac{(6+4-1)!}{6!(4-1)!}$ soluciones.

\item[2.42] Primero, el n\'umero de trayectorias del $(-1,-2)$ al
$(0,0)$ es: 3.

Luego, del $(0,0)$ al $(4,3)$, tiene que dar 3 pasos al Norte y 4 al
este. Por ejemplo, puede seguir esta ruta: NENNEEE; o esta otra,
NNNEEEE. es decir cada trayectoria corresponde a una permutaci\'on
de 7 letras: tres son N y cuatro son E. Luego, de $(0,0)$ a $(4,3)$
hay $\dis\frac{7!}{3!4!}$ trayectorias (siguiendo al condici\'on del
problema, claro). En fin, la respuesta
es:$$3\cdot\dis\frac{7!}{3!4!}$$

\item[2.43] \qquad\qquad \b{} , \;\b{} , \;\b{$a_8$} , \;\b{} , \;\b{}

Para ocupar las dos primeras casillas, elegimos 2 elementos entre

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7$ (lo cual podemos hacer de $ \left(%
\begin{array}{c}
  7 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$ maneras ). para llenar las dos \'ultimas casillas,
elegimos 2 elementos del conjunto
$\left\{a_9,a_{10},a_{11},a_{12}\right\}$ (lo cual puede suceder
de  $ \left(%
\begin{array}{c}
  4 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$ modos).

As\'i que, la respuesta es:$ \left(%
\begin{array}{c}
  7 \\
  2 \\
\end{array}%
\right). \left(%
\begin{array}{c}
  4 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$

\item[2.44]\qquad 12467,\ \  12476,\ \  12647,\ \ 12674,\ ...\ ,
76412,\ \  76421.

\begin{enumerate}
\item[a.-] Comenzando en 1 hay 24 n\'umeros.

Comenzando en 2 hay 24 n\'umeros.

Comenzando en 4 hay 24 n\'umeros.

Hasta ahora van: 72 n\'umeros, el \'ultimo de los cu\'ales es el
47621.

Ya el $73^{\underline{o}}$ es el  61247 .

Empezando por 61 hay 6 n\'umeros, siendo el \'ultimo el 61742
($78^{\underline{o}}$)

El lugar $79^{\underline{o}}$ lo ocupa 62147; el 62174 es el
$80^{\underline{o}}$;\\ luego, el
$\textbf{81}^{\underline{\textbf{o}}}$ \textbf{es el 62417}.

\item[b.-] El 27641 ocupa el $\underline{48^{\underline{o}}}$
lugar. Ahora siguen los que empiezan por 4.

Hay 6 que empiezan por 41; los seis siguientes empiezan por 42;
los seis siguientes empiezan por 46. Llevamos 48+6+6+6 (o sea,
66).

De modo que debemos encontrar el \'ultimo de los n\'umeros que
comienza por 46.

Es decir, el \underline{46721}

\item[c.-] Como 200 \begin{tabular}{|c}
    % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  5 \\
  \hline
  40\\
  \end{tabular}, debemos hallar el $40^{\underline{o}}$ n\'umero y
  la respuesta ser\'a la \'ultima cifra de dicho n\'umero.

  El $48^{\underline{o}}$ n\'umero es el \'ultimo que empieza por
2, o sea, el 27641. Seis lugares más atrás está el 26741 (que
ocupar\'ia el $42^{\underline{o}}$ lugar); 26714, ocupa el
$41^{\underline{o}}$ lugar, y el 26471, el $40^{\underline{o}}$
lugar; as\'i que, la cifra buscada es el 1.


\item[d.-] Veamos cu\'antas unidades tiene el n\'umero que
buscamos: \\ hay 24 n\'umeros terminados en 1, \\ 24 n\'umeros
terminados en 2,\\  24 n\'umeros terminados en 4,\\  24 terminados
en 6\ \  y\\  24 n\'umeros terminados en 7.\\ As\'i que, el n\'umero
que nos interesa tiene:

\begin{center}
\begin{tabular}{rrl}
 $24\cdot1$ & $=$ & 24\\

$24\cdot2$ & $=$ & 48\\

 $24\cdot4$ & $=$ & 96\\

 $24\cdot6$ & $=$ & 144\\

 $24\cdot7$ & $=$ &\underline{168}\\
& & 480 \underline{  unidades  }
\end{tabular}
\end{center}

An\'alogamente, hay 24 n\'umeros que tiene el 1 como pen\'ultima
cifra, 24 n\'umeros que tienen el 2 como pen\'ultima cifra, ...

De modo que la suma que queremos, tendr\'a 480 decenas,

\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \quad
480 centenas,

\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \quad 480
unidades de mil,

\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \quad 480
decenas de mil.


$$\begin{tabular}{r}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
   480 \\

  4800 \\
  48000 \\
  480000 \\
  4800000 \\
  48000000 \\
    \hline
  5.333.280 \\

\end{tabular}$$
\end{enumerate}


\item[2.45] Los d\'igitos son :

\qquad\qquad\qquad 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

\qquad\qquad\qquad\b{} , \;\b{} , \; \b{} , \; \b{} , \; \b{} , \;
\b{} , \; \b{ }


Primero, escojemos las casillas donde van a ir los n\'umeros 4 y
8. Ello lo podemos hacer de $\left(%
\begin{array}{c}
  7 \\
  3 \\
\end{array}%
\right). \left(%
\begin{array}{c}
  4 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$ maneras.

Nos quedan dos casillas por llenar; esto lo podemos hacer de
$8\cdot8$ maneras (no pueden ser escogidos ni el 4 ni el 8).

De modo que, hasta ahora, tenemos: $\left(%
\begin{array}{c}
  7 \\
 3 \\
\end{array}%
\right). \left(%
\begin{array}{c}
  4 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$.8.8 n\'umeros ( de 7 d\'igitos), en los cuales figuran: el
4 tres veces, y el 8, dos veces; pero atenci\'on, en esa cuenta
est\'an incluidos los n\'umeros que empiezan por 0, los cuales no se
consideran de 7 d\'igitos. De manera que vamos a contar cu\'antos
son los n\'umeros de 7 d\'igitos (en los que el 4 figura 3 veces, y
el 8, dos veces) que empiezan por 0,  y restarlos a la cuenta
anterior.

\qquad\qquad\qquad  \qquad\qquad \b{0} , \;\b{} , \;\b{} , \;\b{}
\; \b{} , \;\b{} , \;\b{}

Ahora, ubicar 3 veces el 4, y 2 veces el 8, lo podemos hacer de \\ $\left(%
\begin{array}{c}
  6 \\
 3 \\
\end{array}%
\right)\cdot \left(%
\begin{array}{c}
  3 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)$ maneras. La casilla restante puede llenarse de 8 maneras
diferentes.

As\'i que, la respuesta es:

$\left(%
\begin{array}{c}
  7 \\
 3 \\
\end{array}%
\right). \left(%
\begin{array}{c}
  4 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)\cdot8\cdot8-\left(%
\begin{array}{c}
  6 \\
 3 \\
\end{array}%
\right)\cdot \left(%
\begin{array}{c}
  3 \\
  2 \\
\end{array}%
\right)\cdot8$


\item[2.46] Para resolver \'este y los problemas que siguen, hasta
el 2.52, usaremos `` el principio del nido de las palomas'', en sus
dos versiones:

\begin{enumerate}
\item Si hay $n$ nidos, para albergar a $n+1$ palomas, entonces,
en, al menos en un nido, habr\'a 2\ \ ó \ \ m\'as palomas.

\item Si hay $n.k+1$ palomas \ \ y\ \  $n$ nidos, entonces, en, por lo
menos, un nido habr\'a $k+1$ palomas.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}

\item [a.-] Aqu\'i, $n=50$; $k+1=6$ $\therefore\; k=5$. As\'i que:
$nk+1=251$.

\item [b.-] En este caso, $n=2$ (dos colores); $k+1=6$
$\therefore\; k=5$. Luego, $nk+1=11$.

\item [c.-] Tenemos: $n=12$, $nk+1=37$ $\therefore\;
k=3\;\therefore k+1=4$
\end{enumerate}

\item [2.47] Aqu\'i, $n=500\cdot001$ (hemos incluido un nido para las
personas con 0 \linebreak cabellos);\ \  $nk+1=$7.000.015
$\therefore\; k=\dis\frac{7\cdot000\cdot014}{500\cdot001}=14\;
\therefore\; k+1=15.$

\begin{minipage}{6cm}
\item [2.48] $n=4$

5 puntos (5 palomas).

 Luego, por lo menos, 2 puntos caen en el mismo cuadrado (de lado 1),
y as\'i, la distancia entre ellos es menor que la longitud de la
diagonal: $\sqrt{2}$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)%\psgrid
\psframe(0,0)(3,3)
\psline[linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,3)
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(3,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item [2.49] $n=4$

5 puntos (5 palomas)

Entonces, por lo menos, 2 puntos caen en un mismo tri\'angulo\\ (de
lado $\dis\frac{1}{2}).$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)
\pspolygon(0,0)(1.5,3)(3,0)
\pspolygon[linestyle=dashed,showpoints=true](1.5,0)(.75,1.5)(2.25,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\item [2.50] Notar, en primer lugar, que cualquier n\'umero
natural se puede escribir en la forma: $n=2^r\cdot b$, con $r$,
entero no negativo, y $b$, entero impar.

Por ejemplo, $36=2^2\cdot9$,\ \ $25=2^0\cdot25$,\ \  $16=2^4\cdot1$.

En nuestro caso, ¿\underline{cu\'antos} son los valores que $b$
puede tomar? ¿Qu\'e sucede si hay dos n\'umeros naturales, $n_1$ y
$n_2$, tales que: $$n_1=2^{r_1}\cdot b$$ $$n_2=2^{r_2}\cdot b ?$$

Aqu\'i, el n\'umero de nidos, va a ser el n\'umero de valores que
$b$ puede tomar; las palomas van a ser los n\'umeros elegidos, al
azar, (51).

\item [2.51] Recordar que si $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ son dos
puntos distintos, de $\mathbb{R}^2$, el punto medio del segmento
determinado por ellos es:
$\left(\dis\frac{x_1+x_2}{2},\dis\frac{y_1+y_2}{2}\right);$
colocar los puntos en cuatro ``nidos'', tomando en cuenta si sus
coordenadas son pares o impares. Por \'ultimo, usar el hecho de
que:

par + par da par; impar + impar da par, y par + impar da impar.


\item [2.52] Considerar los 8 n\'umeros (palomas)

$$\begin{tabular}{r}
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  25 \\
  2525 \\
  252525\\
  25252525 \\
  2525252525 \\
  252525252525 \\
  25252525252525 \\
  2525252525252525. \\
\end{tabular}$$

Como al dividir un n\'umero natural entre 7, el resto pertenece al
conjunto $\left\{ 0,1,2,3,4,5,6\right\}$ (hay 7 nidos), entonces, al
menos \underline{dos} de los n\'umeros de la forma $2525\ldots25$
 (en la lista), dan el mismo resto, al dividirlos entre 7. Al
hacer la resta de dichos \underline{dos} n\'umeros, se obtiene un
n\'umero de la forma

\qquad\qquad $2525\ldots2500\ldots00$, \underline{el cual ser\'a
divisible entre 7}

O sea, 7 divide a un n\'umero de la forma:

\qquad\qquad $2525\ldots25\cdot10^{2m}$.

Como 7 es primo, y no divide a $10^{2m}$, entonces, 7 divide a
2525...25.

\item [2.53] Tenemos: $M.\left(%
\begin{array}{cc}
  4 & 12 \\
  0 & 5\\
\end{array}%
\right)=\left(%
\begin{array}{cc}
  72 & 241 \\
  12 & 61 \\
\end{array}%
\right)$

Luego, $M=\left(%
\begin{array}{cc}
   72& 241  \\
  12 & 61 \\
\end{array}%
\right).\left(%
\begin{array}{cc}
  4 & 12 \\
  0 & 5 \\
\end{array}%
\right)^{-1}$


\item [2.54] Una buena pista: cada vez que la part\'icula llega a
un punto de la forma $(x,0)$, con $x$ \underline{impar}, lo hace
en el minuto $x^2$.

\item [2.56] Primero, verificamos que el punto $(3,1)$ pertenece a
la curva:

\qquad\qquad\qquad\qquad $8(9+1)^2=100(9-1)$

Luego, derivamos impl\'icitamente:

 \qquad\qquad\qquad\qquad $16(x^2+y^2).(2x+2yy')=100(2x-2yy')$

 Ah\'i, hallamos y', para $x=3$ \ \ e\ \  $y=1$.

\item [2.57] Aplicamos la regla de la cadena.

$f'(f(f(f(0)))).f'(f(f(0))).f'(f(0)).f'(0)=f'(0).f'(0).f'(0).f'(0)$

\item [2.58] Como $f'(1)=2$, la ecuaci\'on de $r$ es:
$$y-1=2(x-1)$$
Luego, para $y=0$, resulta $x=\dis\frac{1}{2}$.

De modo que, el punto de intersecci\'on de $r$ con el eje de las
abscisas es:

\qquad\qquad\qquad\qquad $(\dis\frac{1}{2},0)$

\qquad\qquad\qquad\qquad $\therefore \; A=\dis\int_0^1{
x^2dx-\dis\frac{1}{2}.1.\dis\frac{1}{2}}$

\item [2.59] Tenemos: \[\left\lbrace\begin{array}{l }
    f(-4)=1\\
    f'(-4)=0\\
    f(0)=0\\
    f'(0)=0
  \end{array}
\right. \]

\item [2.60]

\begin{enumerate}
\item [a.-] $u'(1)=f'(1)g(1)+f(1)g'(1)$

 \item [b.-] $9.\dis\frac{(g(5)+1).f'(5)-f(5).g'(5)}{(g(5)+1)^2}$

\end{enumerate}

\item [2.61] El triángulo $CAB$ es semejante al triángulo $OEB$; $EB$ se halla usando el teorema de pitágoras

{\large anexar gráfico}

\item [2.63] Dicha recta debe pasar por el centro del
paralelogramo, el cual es el punto $(19,95)$.

\item [2.66] Notar que $f(x)$ siempre es impar.

\item [2.67] Por ejemplo, no existe $n\in\mathbb{N}$, tal que
$g(n)=2.$

\item [2.70]

\begin{enumerate}

\item [a.)] Considerar $(m+n)^3$\ \  y\ \  $(m+n)^2$

\item [b.)]
$2^{14}-1=(2^7+1)(2^7-1)=129\cdot(2-1)(2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+1)=129\cdot127=3\cdot43\cdot127$

\item [c.)] Un n\'umero impar es de la forma: $2n-1$.

Ahora, $(2n-1)^2=4n^2-4n+1=4n(n-1)+1.$

Pero $4n(n-1)$ es m\'ultiplo de 8.

\item [d.)] De esos  120 n\'umeros, hay 24 terminados en 1, 24
terminados en 2, 24 terminados en 3, 24 terminados en 4, y 24
terminados en 5.

De manera que la suma que estamos buscando tiene tantas unidades
como:
\begin{center}
\begin{tabular}{rrl}
 $24\cdot1$ & $=$ & 24\\

$24\cdot2$ & $=$ & 48\\

 $24\cdot3$ & $=$ & 72\\

 $24\cdot4$ & $=$ & 96\\

 $24\cdot5$ & $=$ &\underline{120}\\
& & 360
\end{tabular}
\end{center}
An\'alogamente, la suma procurada, va a tener 360 decenas, 360
centenas, 360 unidades de mil, 360 decenas de mil.

 As\'i que la suma es:
$$\begin{tabular}{r}
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  360 \\
  3600 \\
  36000\\
  360000 \\
  3600000\\
  \hline\\
   3.999.960
\end{tabular}$$

\item [e.)] $p^2-1=(p-1)(p+1)$.

Veamos primero, que $p^2-1$ es m\'ultiplo de 3.

 Si $p-1$ es m\'ultiplo de 3, no tenemos m\'as nada que probar.\\
Supongamos entonces, que $p-1$ \underline{no} es m\'ultiplo de 3.\\
De modo que $\frac{p-1}{3}$ da resto 1\ \  \'o \ \ 2. Si da resto 1,
entonces $p+1$ dividido entre 3 da resto 0. (Y as\'i, queda $p+1$
m\'ultiplo de 3).

Si $p-1$ entre 3 da resto 2, tenemos:

\qquad $p-1=3q+2$, o sea, $p=3q+3=3(q+1),$ y $p$ no ser\'ia primo.

Luego, concluímos que $p^2-1$ es m\'ultiplo de 3. Ahora veamos, que
alguno de los factores de $p^2-1$ es m\'ultiplo de 4. O sea, $p-1$
es m\'ultiplo de 4 \ \ \'o \ \  $p+1$ es m\'ultiplo de 4. Como cada
uno de ellos es par, esto nos dar\'ia que $p^2-1$ es m\'ultiplo de
8. Si $p-1$ es m\'ultiplo de 4 no hay m\'as nada que hacer (recordar
que $p\geq 5$). Si $p-1$ no es m\'ultiplo de 4, entonces, al
dividirlo entre 4, da resto 1,2\ \  \'o\ \  3.

Si $p-1=4q+1,$ para cierto entero $q$, entonces,\\
$p=4q+2=2(2q+1),$\ \ y\ \ $p$ no ser\'ia primo.

Si $p-1= 4q'+2$, entonces $p+1=4q'+4=4(q'+1),$ \\ y\ \  $p+1$
ser\'ia m\'ultiplo de 4.

Si $p-1=4q''+3$, entonces, $p=4q''+4=4(q'' +1)$,\\  y\ \  $p$ no
ser\'ia primo.

En todo caso, vemos que se cumple que

\qquad $p+1$ \ \ \'o\ \  $p-1$, alguno de ellos, es m\'ultiplo de
4.\\ O sea: $p^2-1$ es \[\left\lbrace\begin{array}{l }
\mbox{m\'ultiplo de 3}\\
  \mbox{m\'ultiplo de 8}
  \end{array}
\right. \]

$\therefore\; p^2-1$ es m\'ultiplo de 24.

\item [f.)] Escribiendo $n^2-19n+99$ como

\qquad\qquad $(n-10)^2+n-1$, en seguida comprobamos que para $n=1$,
9, 10 y 18, resultan cuadrados perfectos
$(81,9,9,81,\mbox{respectivamente}).$

¿Existir\'an otros?

Sea $n^2-19n+99=k^2$, con $k$ entero positivo.

$\therefore\; n^2-19n+99-k^2=0$

$\therefore\; n=\dis\frac{19\underline{+}\sqrt{4k^2-35}}{2}$

Observamos que para $k=3$ \ \ \'o\ \  $k=9$, se obtienen:
$n=1,9,10,18.$

En general, supongamos que $4k^2-35=w^2$, con $w$, natural.
Entonces, $(2k+w)(2k-w)=35$. Luego, $2k+w=7$ \ \ y \ \ $2k-w=5$ \ \
\'o \ \ $2k+w=35$\ \  y \ \ $2k-w=1.$ O sea, $k=3$\ \  \'o\ \  $k=9$

\item [g.)]  Si $n$ es impar, se cumple:
$$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-1}b+a^{n-3}b^2-...+b^{n-1})$$
Luego,

 $47^{21}+23^{21}=(47+23)(47^{20}-47^{19}\cdot 23+\ldots
+23^{20})=70\cdot\mbox{entero.}$

\item [h.)] $n^2+7=(n+3)^2-6n-2=(n+3)^2-6(n+3)+16.$

Luego, $n+3$ divide exactamente a $n^2+7$, si, y sólo si, $n+3$
divide a 16. Y esto ocurre para $n=1,5,13$.

\end{enumerate}

\item [2.71] \begin{enumerate}

\item[a.)] $\dis\frac{1}{2}=\dis\frac{1}{p}+\dis\frac{1}{q}$, con
$p$ y $q$, enteros positivos.

No puede ser \ \ \ $\dis\frac{1}{p}<\dis\frac{1}{4}$ \ \ y\ \
$\dis\frac{1}{q}<\dis\frac{1}{4}$.

Luego,\ \ \  $\dis\frac{1}{p}\geqslant\dis\frac{1}{4}$\ \ ó\ \
$\dis\frac{1}{q}\geqslant\dis\frac{1}{4}$

Supongamos \ \ \ $\dis\frac{1}{p}\geqslant \dis\frac{1}{4}$.

Entonces, \ \ $p=1, 2, 3\ \ \mbox{\'o} \ \ 4.$

Si fuera $p=1$, tendr\'iamos:

\qquad\qquad $\dis\frac{1}{2}=1+\dis\frac{1}{q}$, o sea, $q=-2$
(absurdo)

Si fuera $p=2$, quedar\'ia:

\qquad\qquad$\dis\frac{1}{2}=\dis\frac{1}{2}+\dis\frac{1}{q}$.

Luego, $\dis\frac{1}{q}=0$ (absurdo).

Si $p=3$, obtenemos $q=6$.

Si $p=4$, resulta q=4.

As\'i, $\dis\frac{1}{2}=\dis\frac{1}{3}+\dis\frac{1}{6}; \ \;\;
\dis\frac{1}{2}=\dis\frac{1}{4}+\dis\frac{1}{4}$.


\item[b.)] Sean: $a$, el largo del rect\'angulo;

\quad $b$, el ancho del rect\'angulo

Tenemos $2a+2b=ab,$

\qquad\qquad$\therefore\; 2(a+b)=ab$

\qquad\qquad$\therefore\; \dis\frac{(a+b)}{ab}=\dis\frac{1}{2}$,

\qquad\qquad $\therefore\; \dis\frac{1}{b}+
\dis\frac{1}{a}=\dis\frac{1}{2}$

Como $a$ y $b$ deben ser enteros positivos, esta \'ultima ecuaci\'on
tienen la misma forma que la ecuaci\'on de la parte a.).

\item[c.)] La media arm\'onica de dos n\'umeros $x$ \ \ e\ \  $y$ es:

\qquad\qquad\qquad\qquad $\dis\frac{2xy}{x+y}.$\\ Sean $x$\ \  e\ \
$y$ enteros positivos.

Seg\'un las condiciones dadas:

\qquad\qquad\qquad\qquad $\dis\frac{2xy}{x+y}=4$

\qquad\qquad\qquad\qquad $\therefore\;\dis\frac{xy}{x+y}=2$

\qquad\qquad\qquad\qquad
$\therefore\;\dis\frac{x+y}{xy}=\dis\frac{1}{2}$

\qquad\qquad\qquad\qquad
$\therefore\;\dis\frac{1}{y}+\dis\frac{1}{x}=2$

\item[d.)] Sean $x$ e $y$, dos enteros; $z$ su producto, $z>0$.

Los n\'umeros $x$ e $y$ deben ser positivos, pues su suma y
producto son positivos. De las condiciones dadas, se llega a:
$$xy=z$$
$$x+y=\dis\frac{z}{2},$$

Lo cual implica que  $x+y=\dis\frac{xy}{2}.$

Es decir: \qquad $\dis\frac{x+y}{xy}=\dis\frac{1}{2},$

o sea, \qquad $\dis\frac{1}{y}+\dis\frac{1}{x}=\dis\frac{1}{2}$

\begin{minipage}{5cm}
\item[e.)] Sea $k$ el n\'umero de pol\'igonos con v\'ertice en $P$.
Si los polígonos no se superponen, son regulares y congruentes;
utilizando la notaci\'on de la figura, se obtendr\'a:
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%\psgrid
\psline(2,2)(4,2)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(2,2)
\psline(.58578,.58578)(3.41421,3.41421)
\psline(3.41421,.58578)(.58578,3.41421)
\psarc(2,2){.5}{0}{45}
\psarc(2,2){.7}{45}{135}
\psarc(2,2){.9}{315}{360}
\psarc(2,2){.7}{225}{315}
\rput(1.7,2){\foo $P$}
\rput(2,1.1){\foo $\alpha_{k-1}$}
\rput(2,2.9){\foo $\alpha_2$}
\rput(2.7,2.2){\foo $\alpha_1$}
\rput(3,1.5){\foo $\alpha_k$}
\psdots(2,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

$$\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_k =\dis\frac{360^\circ}{k}$$

Pero cada $\alpha_i$ es un \'angulo de un pol\'igono regular de
$n$ lados, luego,

$$\alpha_i=\dis\frac{(n-2)180^\circ}{n}, \ \ \ \; 1\leq i\leq k$$

as\'i, \qquad \qquad \qquad
$\dis\frac{360^\circ}{k}=\dis\frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}$.

$$\therefore\; \dis\frac{2}{k}=\dis\frac{n-2}{n}$$
$$\therefore\; 2n=(n-2)k$$
$$\therefore\; 2n+2k=nk$$

De las condiciones del problema, se sigue que $n$ y $k$ deben ser
enteros positivos. Adem\'as, de $2n+2k=nk$, se obtiene

$$\dis\frac{1}{k}+\dis\frac{1}{n}=\dis\frac{1}{2}.$$

Luego, $k=n=4$ \ \ ó\ \  $k=3$, \ $n=6$ \ \ \'o\ \  $k=6$,\ $n=3$

\begin{center}
\begin{pspicture}(0.33333,0)(10,2)%\psgrid
\psframe(0.33333,0)(2.33333,2)\psline(1.33333,0)(1.33333,2)\psline(0.33333,1)(2.33333,1)
\pspolygon(5.33333,2)(5.66666,2)(6,1.5)(5.66666,1)(5.33333,1)(5,1.5)
\psline(5.66666,1)(6,.5)(5.66666,0)(5.33333,0)(5,.5)(5.33333,1)
\psline(5,1.5)(4.66667,1.5)(4.33334,1)(4.66667,.5)(5,.5)
\pspolygon(8.5,.17)(9.5,.17)(10,1)(9.5,1.83)(8.5,1.83)(8,1)
\psline(8,1)(10,1)\psline(8.5,1.83)(9.5,.17)\psline(9.5,1.83)(8.5,.17)
\rput(1.6,1.3){\foo $P$}\psdots(1.33333,1)
\rput(5.5,1.3){\foo $P$}\psdots(5.33333,1)
\rput(9,1.3){\foo $P$}\psdots(9,1)
\end{pspicture}
\end{center}


\item[f.)] Sea $2n$ es divisible entre $n-2$, entonces,
$2n=(n-2)k$, donde, $k$ es un n\'umero entero. $\therefore\;
2n+2k=nk$. (el cual resulta positivo) (igual que la ecuaci\'on de la
parte  e.)
\end{enumerate}

\begin{minipage}{7cm}

\item[2.72] ¿C\'omo se interpreta la expresi\'on
$\frac{L}{3}$?  ¿y la
expresi\'on $\frac{L}{4}$?\\

Sea $t$, la hora del encendido.\\

¿Qué significa la expresión $(4-t)\frac{L}{3}$?\\

¿Qu\'e significa la expresi\'on $(4-t)\frac{L}{4}$?\\

\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(3,2)%\psgrid
\pspolygon(.3,0)(.4,1.6)(.6,1.6)(.7,0)
\psarc[fillstyle=solid,fillcolor=black](.5,1.8){.1}{0}{180}
\psline[fillstyle=solid,fillcolor=black](.4,1.8)(.5,1.6)(.6,1.8)
\psline{|-}(1,1.6)(1,1)\psline{-|}(1,.6)(1,0)\rput(1,.8){\foo $L$}

\pspolygon[fillstyle=hlines](1.8,0)(1.9,1.6)(2.1,1.6)(2.2,0)
\psarc[fillstyle=solid,fillcolor=black](2,1.8){.1}{0}{180}
\psline[fillstyle=solid,fillcolor=black](1.9,1.8)(2,1.6)(2.1,1.8)
\psline{|-}(2.5,1.6)(2.5,1)\psline{-|}(2.5,.6)(2.5,0)\rput(2.5,.8){\foo $L$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

¿C\'omo est\'an relacionadas las expresiones:

$$L-(4-t)\dis\frac{L}{3}\;\ \ \;y\ \ \;\; L-(4-t)\dis\frac{L}{4}?$$

\item[2.73]
 ¿Q\'ue relaci\'on hay entre las expresiones:

 $$L-4.\dis\frac{L}{7}\;\ \ \;y\ \ \;\;l-4\dis\frac{l}{10}?$$

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.74] \underline{Entre} el 20 y el 53 hay 32 n\'umeros.

 Luego, el n\'umero de alumnos es:

$$32+32+2.$$
\end{minipage}
 \hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(3,3)%\psgrid
\pscircle(1.5,1.5){1.5}\psdots(1.5,1.5)
\psline[linestyle=dashed](.45,.45)(2.55,2.55)
\rput(.2,.2){\foo $53$}\rput(2.8,2.8){\foo $20$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

 \item[2.75] Sea $t$, la hora de salida.

 $V_A$, la velocidad del habitante del pueblo $A$.

 $V_B$, la velocidad del habitante del pueblo  $B$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(10,.5)%\psgrid
\psline[showpoints=true](0,0)(10,0)\psdots(6,0)
\rput(0,-.3){\foo $\overrightarrow{V_A}$} \rput(0,.3){\foo $A$}
\rput(7,.3){\foo $E$ (encuentro)}
\rput(10,-.3){\foo $\overrightarrow{V_B}$}\rput(10,.3){\foo $B$}
\end{pspicture}
\end{center}

 Tenemos:\  $AE=V_A\cdot(12-t),$

 tambi\'en, \ $AE=V_B\cdot9$.

 Luego \ $V_A.(12-t)=V_B\cdot9$

 Por otro lado,\  $EB=V_B(12-t)$, \ \ y

 \qquad\qquad\qquad $EB=V_A\cdot4$

 o sea,\ \  $V_B(12-t)=V_A\cdot4$

 De manera que: \[\left\lbrace\begin{array}{l }
V_A\cdot(12-t)=V_B\cdot9\\
V_A\cdot4=V_B(12-t),
  \end{array}
\right. \]

De donde, $(12-t)^2=36$

\item[2.76] Unimos $A$ con $C$;

Por $B$ trazamos la paralela a $\overline{AC}$. Aparecen los puntos
$R\in r$\ \  y\ \  $S\in s$.

Como nuevo lindero, se puede tomar: $\overline{CR}$,\ \  \'o\ \
$\overline{AS}$ \ \ \'o \ \ $\overline{MN}$, donde, $M$ es el punto
medio de $\overline{AR}$ \ \ y\ \  $N$ es el punto medio
$\overline{CS}$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(8,3)%\psgrid
\psline(.5,0.5)(7.5,0.5)
\psline[linestyle=dashed](2.5,.5)(3.5,2.5)
\psline[linestyle=dashed](5,.5)(6,2.5)
\psline(.5,2.5)(7.5,2.5)
\psline(2.5,.5)(5.5,1.6)(3.5,2.5)
\rput(7.8,2.5){$r$}
\rput(7.8,.5){$s$}
\psdots(2.5,.5)\psdots(5.5,1.6)\psdots(3.5,2.5)
\psdots(5,.5)\psdots(6,2.5)
\rput(2.2,.5){\foo $C$}\rput(5.8,1.6){\foo $B$}\rput(3.5,2.8){\foo $A$}
\rput(5,.2){\foo $S$}\rput(6,2.8){\foo $R$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[2.77] Los tri\'angulos $MPC$ y  $CQN$ son is\'osceles.

Proyectar:\  $P$ sobre $\overline{MC}$ y $Q$ sobre $\overline{CN}.$

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(6.5,4)%\psgrid
\pscircle(4.5,2){2}
\pscircle(2,2){1.5}
\psline(0,3.16)(7,3.16)
\psline(4.5,2)(2,2)
\psline[linestyle=dashed](1.1,3.16)(2,2)(2.9,3.16)(4.5,2)(6.2,3.16)
\psline[linestyle=dashed](2,3.16)(2,2)
\psline[linestyle=dashed](4.5,3.16)(4.5,2)
\psdots(4.5,2)
\psdots(2,2)
\psdots(2.9,3.16)
\psdots(6.12,3.16)
\psdots(1.1,3.16)
\rput(4.7,1.8){$P$}
\rput(1.7,1.8){$Q$}
\rput(.9,3.4){$N$}
\rput(6.4,3.4){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[2.78] \ \
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(6,4.5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pspolygon(0,0)(0,4)(3.2,4)(5.3,0)
\psdots(2,2)\psdots(0,2)\psdots(2,4)\psdots(2,0)\psdots(3.7,3.1)
\psdots(3.2,4)\psdots(5.3,0)\psdots(3.2,0)
\psline[linestyle=dashed](3.2,4)(3.2,0)
\psline(3.4,0)(3.4,.2)(3.2,.2)
\rput(3.2,-.3){\foo $X$}
\rput(-.3,-.3){\foo $U$}
\rput(-.3,2){\foo $V$}
\rput(-.3,4.3){\foo $P$}
\rput(2,4.3){\foo $Q$}
\rput(3.2,4.3){\foo $R$}
\rput(3.9,3.3){\foo $T$}
\rput(5.3,-.3){\foo $S$}
\rput(2,-.3){\foo $W$}
\rput(1.7,2){\foo $O$}
\end{pspicture}
\end{center}

En el tri\'angulo $RXS$ tenemos:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,4.5)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,4)(3,0)\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(-.3,-.3){\foo $X$}\rput(-.3,4.3){\foo $R$}
\rput(3.3,-.3){\foo $S$}\rput(1.5,-.3){\foo $11$}
\rput(-.3,2){\foo $2x$}\rput(1.9,2){\foo $13$}
\end{pspicture}
\end{center}
$r:$ radio de la circunferencia.


\item[2.79] \ \
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(9.5,4.2)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psline(3,3.73205)(9.4641,0)(2,0)
\psline(3.1547,0)(4.725,2.75)
\psline(3.73205,1)(7.72,1)

\psdots(3.73205,1)\psdots(7.72,1)\psdots(4.725,2.75)
\psdots(3.1547,0)\psdots(9.4641,0)\psdots(2,0)\psdots(3,3.73205)\psdots(2,2)
\rput(2,-.3){\foo $P$}\rput(3.1547,-.3){\foo $B$}\rput(9.7,-.3){\foo $C$}
\rput(7.8,1.3){\foo $L$}\rput(3.4,1){\foo $J$}\rput(4.8,3){\foo $A$}
\rput(3.2,4){\foo $K$}\rput(4,3.4){\foo $x$}\rput(4.4,1.8){\foo $x$}
\rput(2.6,-.3){\foo $y$}\rput(3.6,.4){\foo $y$}
\end{pspicture}
\end{center}

Tenemos: $$x+y=6.$$

Adem\'as, el tri\'angulo $AJL$ es semejante al tri\'angulo $ABC$.

$\therefore\; \dis\frac{AC}{AL}=\dis\frac{AB}{x}$


$\therefore\; \dis\frac{9}{AL}=\dis\frac{6}{x}$

Tambi\'en, $CP=CK$,

$\therefore\; 11+y=9+x.$

\bigskip

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.80] Por el Teorema del \'angulo inscrito, resulta que
$\sphericalangle POQ = 60^0$; As\'i, el tri\'angulo $POQ$ es
equil\'atero y, entonces, $PQ$ es igual al radio de las
circunferencias mayores.\\

Ahora, proyectando (horizontalmente) el punto $I$ sobre
$\overline{OX}$ (llamemos $H$ a esa proyecci\'on), tenemos:
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,4.5)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,4)(3,0)\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(-.3,-.3){\foo $H$}\rput(-.3,4.3){\foo $I$}
\rput(3.3,-.3){\foo $O$}\rput(1.5,-.3){\foo $r-5$}
\rput(-.3,2){\foo $r$}\rput(2.1,2){\foo $r+5$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}



\item[2.81] Como $T$ es punto de tangencia, resulta que:
$\sphericalangle OTB= 90^0$, y adem\'as, $AT=TB=5\sqrt{2}.$
Tenemos:

\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,0)(8.5,4.5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pscircle(2,2){1.2}
\psline(0,1.8)(2.35,3.95)
\psline[linestyle=dashed](1.2,2.9)(2,2)(2.32,3.95)
\psdots(1.2,2.9)\psdots(2,2)
\rput(-.2,1.7){\foo$A$}\rput(2.45,4.15){\foo$B$}
\rput(1.7,1.7){\foo $O$}
\pspolygon(6,1)(6,3)(8,1)\psline(6.2,1)(6.2,1.2)(6,1.2)
\rput(5.7,.7){\foo $T$}\rput(5.7,3.3){\foo $O$}\rput(8.3,.7){\foo $B$}
\rput(5.5,2){\foo $5\sqrt2$}\rput(7.3,2){\foo $10$}\rput(7,.7){\foo $r$}
\rput(1,3){\foo $T$}
\end{pspicture}
\end{center}


\item[2.82]\ \

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(5,5)%\psgrid
\psline{->}(2,0)(2,5)\psline{->}(0,2)(5,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](2,1)(3,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](3,2)(4,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](2,3)(3,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2)(2,3)
\rput(3.2,1.8){\foo $1$}\rput(4.2,1.8){\foo $2$}\rput(1.8,1.8){\foo $0$}\rput(.8,1.8){\foo $-1$}
\rput(1.8,.8){\foo $-1$}\rput(1.8,3.2){\foo $1$}\rput(1.8,4.2){\foo $2$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.83]  $\textbf{x}+AB+\textbf{BF}+12=14$

$\therefore\; BC+AB=28$

$\therefore\; 2BC+2AB=56$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,2.5)%\psgrid
\pspolygon(1,0)(0,2)(3,2)(4,0)
\psline(0.8,2)(3.2,0)
\rput(0,2.2){\foo$A$}\rput(.8,2.2){\foo$E$}\rput(3,2.2){\foo$D$}
\rput(1,-.2){\foo$B$}\rput(3.2,-.2){\foo$F$}\rput(4,-.2){\foo$C$}
\psdots(1,0)\psdots(0,2)\psdots(3,2)\psdots(4,0)\psdots(.8,2)\psdots(3.2,0)
\rput(.5,1.8){\foo$x$}\rput(3.5,.2){\foo $x$}\rput(2.4,1){\foo$12$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\item[2.84]

\begin{enumerate}

\item[a.)] En el tri\'angulo \underline{rect\'angulo} $OMB$ se
tiene:

\qquad\qquad $OB=r$; $MB=3;$ $OM=4-r$

(Para justificar que $OM=4-r$, se demuestra primero que los
tri\'angulos $AOC$ y $COB$ son iguales. De ah\'i se deduce que:\\
$\sphericalangle ACO=\sphericalangle OCB$.\\ Luego,\ $\overline{CO}$
es bisectriz del \'angulo $ACB$. As\'i que al prolongar
$\overline{CO}$ hasta cortar a $\overline{AB}$ se obtiene $M$, punto
medio de $\overline{AB}$\ \  y, adem\'as, $\overline{CM}\perp
\overline{AB}$ )
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,0)(4.5,4.5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}\psdots(2,2)\psline[linestyle=dashed](2,2)(3.8,1.2)
\psline[linestyle=dashed](2,4)(2,1.2)\pspolygon(.2,1.2)(3.8,1.2)(2,4)
\psline(2.2,1.2)(2.2,1.4)(2,1.4)
\rput(-.1,1.2){\foo$A$}\rput(4.1,1.2){\foo$B$}\rput(2,4.3){\foo$C$}
\rput(2,.9){\foo $M$}\rput(1.7,2){\foo $O$}
\rput(3.2,2.5){\foo$5$}\rput(.8,2.5){\foo$5$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[b.)] En todo tri\'angulo rect\'angulo, el
\underline{circuncentro} es el punto medio de la hipotenusa.

\item[c.)] Como debe ser:

$20<8+c$

$\therefore c>12,$

(las otras condiciones son: $8<20+c$ \ \ y\ \  $c<20+8$)

la menor longitud de $c$ es  13 cm.

\end{enumerate}

\item[2.85] Unimos $C_3$ con $D$, y por $C_2$, trazamos la
perpendicular a $\overline{AB}$. Resulta que los tri\'angulos
rect\'angulos:

\qquad $OC_2M$ \ \ y\ \  $OC_3D$, son semejantes.

As\'i, \ $\dis\frac{OC_3}{OC_2}=\dis\frac{C_3D}{C_2M},$\ \  o sea,\
\  $\dis\frac{5r}{3r}=\dis\frac{r}{C_2M}$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,0)(7,2.3)%\psgrid
\psline(0.5,1)(7,1)
\psline[linestyle=dashed](5.3,1.979795)(5.5,1)
\psline[linestyle=dashed](3.35,1.6)(3.5,1)
\pscircle(1.5,1){1}\pscircle(3.5,1){1}\pscircle(5.5,1){1}
\psline(.5,1)(5.3,1.979795)
\psdots(1.5,1)\psdots(3.5,1)\psdots(5.5,1)
\psdots(.5,1)\psdots(5.3,1.979795)\psdots(2.6,1.42)\psdots(4.17,1.74)
\rput(1.5,.7){\foo$C_1$}\rput(3.5,.7){\foo$C_2$}\rput(5.5,.7){\foo$C_3$}
\rput(.2,1){\foo$O$}\rput(2.5,1.7){\foo$A$}\rput(4.2,2){\foo$B$}\rput(5.4,2.2){\foo$D$}
\psline(3.17,1.55)(3.23,1.35)(3.4,1.39)
\psline(5.1,1.92)(5.16,1.72)(5.33,1.76)
\end{pspicture}
\end{center}

Por lo tanto  $C_2M=\dis\frac{3}{5}r.$

Tenemos, entonces,
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3.5,3.5)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,3)(3,3)\psline(0,2.8)(.2,2.8)(.2,3)
\rput(0,3.3){\foo $M$}\rput(0,-.3){\foo $C_2$}\rput(3,3.3){\foo $B$}
\rput(1.5,3.4){\foo $\dfrac x2$}\rput(-.5,1.5){\foo $\dfrac35 r$}
\rput(2,1.5){\foo $r$}
\end{pspicture}
\end{center}
llamando $x=AB$

$\therefore\; \dis\frac{9}{25}r^2+\dis\frac{x^2}{4}=r^2$

$\therefore\; x=\dis\frac{8}{5}r.$

\begin{minipage}{6.5cm}
\item[2.86] Tenemos:
\begin{itemize}
\item $\mbox{'area }A_1= \mbox{\'area } A_2$;
\item $\mbox{'area }A_3=\mbox{\'area } A_4.$;
\item $A_1+A_2+A_3+A_4=2A_3+2A_2$\\
$\phantom{--------}= 64\;cm^2$
\end{itemize}
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{5.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3.5,3.5)%\psgrid
\pspolygon(1.5,0)(0.75,3)(3,1)(3,0)
\psline[linestyle=dashed](.75,3)(3,0)
\pspolygon(3,2)(.75,3)(0,0)(3,0)
\psdots(0,0)\psdots(3,2)\psdots(.75,3)\psdots(3,0)\psdots(1.5,0)\psdots(3,1)
\rput(3.2,-.2){\foo$A$}\rput(3.2,2.2){\foo$B$}\rput(0.75,3.2){\foo$C$}
\rput(-.2,-.2){\foo$D$}\rput(3.2,1){\foo$E$}\rput(1.5,-.2){\foo$F$}
\rput(.75,1){\foo $A_4$}\rput(1.75,1){\foo $A_3$}\rput(2.8,.72){\foo $A_2$}\rput(2.8,1.72){\foo $A_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}



\item[2.87] Los tri\'angulos $CQR$, $QAP$, $RSB$ y $CAB$ son
\underline{equil\'ateros}.

(Tambi\'en, $QASR$\ \  y\ \  $QPBR$\  son paralelogramos.)

 Tenemos:
\[\left\lbrace\begin{array}{l }
x+z+x=29\\
x+z=20
  \end{array}
\right. \]

\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(6,5.5)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(6,0)(3,5)
\psline(2,0)(1,1.73205)
\psline(4,0)(5,1.73205)
\psline(1,1.73205)(5,1.73205)
\psline[linewidth=0.02](2,0)(4,0)
\psdots(2,0)\psdots(4,0)
\rput(0,-.3){\foo $A$}\rput(6,-.3){\foo $B$}\rput(3,5.3){\foo $C$}
\rput(2,-.3){\foo $P$}\rput(4,-.3){\foo $R$}
\rput(.7,1.73205){\foo $Q$}\rput(5.3,1.73205){\foo $S$}
\rput(1,-.3){\foo $x$}\rput(3,-.3){\foo $x$}\rput(5,-.3){\foo $x$}\rput(.2,.8){\foo $x$}
\rput(1.8,.8){\foo $x$}\rput(4.2,.8){\foo $x$}\rput(5.8,.8){\foo $x$}
\rput(3,1.5){\foo $z$}\rput(4.4,3.2){\foo $z$}\rput(1.6,3.2){\foo $z$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[2.88]
\begin{enumerate}

\item[a.)]\ \
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}\psline[linestyle=dashed,showpoints=true](2,2)(3.4,3.4)
\psline(3.4,3.4)(.6,3.4)\psline(2,0)(2,4)\psline(2,3.2)(2.2,3.2)(2.2,3.4)
\rput(1.7,2.7){\foo $x$}\rput(2.7,3.6){\foo $12$}\rput(2.9,2.5){\foo $20$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item[b.)] Trazamos el di\'ametro que pasa por el punto de
intersecci\'on de las cuerdas.

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(6.5,4.5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psline[showpoints=true](2,0)(2,4)
\psline(1.2,3.8)(3.8,2.8)\psline(2.8,3.8)(.2,2.8)
\psdots(2,3.5)
\psline[showpoints=true](6,0)(6,4)
\psdots(6,3.5)\psline{|-}(6.4,3.5)(6.4,2.95)\psline{-|}(6.4,2.55)(6.4,2)
\psline{-}(6.4,2)(6.4,1.2)
\psline{-|}(6.4,.8)(6.4,0)
\psdots(2,2)\psdots(6,2)
\psline{|-}(5.6,4)(5.6,3.2)
\psline{-|}(5.6,2.8)(5.6,2)
\rput(6.4,2.75){\foo $x$}
\rput(6.4,1){\foo $16$}\rput(5.6,3){\foo $16$}
\rput(2,4.3){\foo $A$}\rput(2,-.3){\foo $B$}
\rput(2.3,2){\foo $O$}
\end{pspicture}
\end{center}

En virtud del \underline{Teorema de las cuerdas secantes}:
$$
\begin{array}{lrcl}
 & (16+x)(16-x) & = & 156\\
\therefore & 256-x^2 & = & 156\\
\therefore & x^2 & = & 100\\
\therefore & x & = & 10\;cm
\end{array}$$


\item[c.)] $PT^2+15^2=25^2$

$\therefore PT=20\; m$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.3,0)(4,5)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psline(-.82842,2)(2,4.82842)
\psline[linestyle=dashed](-.82842,2)(2,2)(0.58578,3.41421)
\psline(.45,3.29)(0.58578,3.15)(.73,3.29)
\psdots(2,2)
\rput(.4,3.6){\foo$T$}\rput(-1.1,2){\foo$P$}
\rput(2.3,2){\foo $O$}
\end{pspicture}
\end{center}


\item[d.)]
\underline{ Resulta }que  $\overline{T_1T_2}\perp
\overline{OP}$

Luego, $\underline{M}$ es el punto medio de $\overline{T_1T_2}$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.5,-.2)(4,4.2)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pspolygon[showpoints=true](1,3.73205)(-2,2)(1,0.26794)
\psline[linestyle=dashed](1,3.73205)(2,2)(1,0.26794)
\psline[linestyle=dashed](-2,2)(2,2)
\psdots(2,2)\psdots(1,2)
\rput(-2.3,2){\foo $P$}\rput(2.3,2){\foo $O$}\rput(.8,2.2){\foo $M$}
\rput(.8,0){\foo $T_2$}\rput(2.3,2){\foo $O$}
\rput(.8,4){\foo $T_1$}
\end{pspicture}
\end{center}

As\'i, nos queda el tri\'angulo:
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3.5,4.5)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(0,4)(3,0)
\psline(.2,0)(.2,.2)(0,.2)
\rput(3.2,-.2){\foo $O$}
\rput(-.2,-.2){\foo $M$}
\rput(-.2,4.2){\foo $T_1$}
\rput(1.5,-.2){\foo $\sqrt{100+r^2}-8$}
\rput(-.2,2){\foo $6$}\rput(1.8,2){\foo $r$}
\end{pspicture}
\end{center}

$\therefore r=7.5\;cm$
\bigskip

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{6cm}
\item[e.)]\item Usamos el teorema de las cuerdas
secantes. Trazamos el di\'ametro que pasa por $P$.

$\begin{array}{lcl}
AP.PB & = & (r-OP)(r+OP)\\
 & = & r^2-OP^2\\
 & = & 169-25\\
 & = & 144\;cm^2
\end{array}$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\psline[linestyle=dashed](.2,2.8)(3.8,1.2)
\psline[showpoints=true](.2,1.2)(2.8,3.8)
\psdots(2,2)\psdots(1.33,2.322)
\rput(0,1){\foo $A$}\rput(3,4){\foo $B$}\rput(2.2,2.2){\foo $O$}\rput(1.3,2.6){\foo $P$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip
\begin{minipage}{6cm}
\item Queremos saber el valor m\'inimo de $x+y$, sabiendo que
$x\cdot y=144$, con $x>0,\;y>0$, $\;x+y\leq 26$.
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,.8)(4,3.4)%\psgrid
\psline[showpoints=true](.2,1.2)(3.8,3)
\psdots(1.4,1.8)
\rput(0,1){\foo $A$}\rput(4,3.2){\foo $B$}\rput(.9,1.3){\foo $x$}
\rput(2.7,2.2){\foo $y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\bigskip
Sea $f:(0,26)\longrightarrow\mathbb{R}$, cuya regla de correspondencia esta dada por
$f(x)=x+\frac{144}{x}$.

$\therefore\; f'(x)=1- \dis\frac{144}{x^2}$;
$f''(x)=\dis\frac{288}{x}$

$\therefore\; 1=\dis\frac{144}{x^2}\; \therefore\;
x=12\;\therefore\; y=12.$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item[2.89]\begin{enumerate}

\item[a.)] Resultan:

$\begin{array}{ll}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
AE= 8\;cm \therefore\;EC=8\;cm\searrow &  \\
& \therefore\;CD=4\;cm \\
  EB=4\;cm\therefore\; ED=4\;cm\nearrow & \\
\end{array}$

\begin{minipage}{6cm}
\item[b.)]Tenemos:
 \[\left\lbrace\begin{array}{ccc}
t+z & = & 3\\
z+y & = & 4\\
x+y & = & 7
  \end{array}
\right. \]

Necesitamos hallar $x+t$. Sumando la $1^a$ y la $3^a$ ecuaciones, y
tomando en cuenta la segunda:

\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(4,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pspolygon(0.84529,0)(-1.464101,4)(4,4)(4,0)
\psdots(2,2)\psdots(2,4)\psdots(4,2)
\psdots(2,0)\psdots(0.26794,1)
\rput(.2,4.2){\foo $x$}\rput(3,4.2){\foo $y$}\rput(4.2,3){\foo $y$}
\rput(4.2,1){\foo $z$}\rput(3,-.2){\foo $z$}
\rput(1.2,-.2){\foo $t$}\rput(.4,.4){\foo $t$}
\rput(-.8,2.3){\foo $x$}

\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
$$t+\textbf{z}+x+\textbf{y}=10$$ $$\therefore\; x+t=6$$
\end{enumerate}


%\end{enumerate}

\item[2.90]\begin{enumerate}

 \item[a.)]Sean $a$, $b$ y $c$ los lados  del
tri\'angulo.

Supongamos $a=6$ \ \ y\ \ $b=11$

Debe cumplirse:

 \begin{tabular}{cc}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
 $6<11+c$ & \\

  $11<6+c $& $\therefore \; 5<c<17$,\ \  y \\
  $c<6+11$, & $c\neq 6$\ \  y\ \  $c\neq 11$ \\
 \end{tabular}\\

$$\therefore c\in\left\{7,8,9,10,11,12,13,14,15,16\right\}$$
El lado del cuadrado mide 12 cm.

\end{enumerate}
\begin{enumerate}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.91]\item[a.)]Primero, probar que $\sphericalangle EIA=90^0$ (Usar que
$\triangle EAD\equiv\triangle ABF$).

Luego, probar que los tri\'angulos $EIA$\ \  y\ \  $ABF$ son
semejantes; esto permitir\'a hallar que:
$$EI=\dis\frac{6}{\sqrt{5}}; \; AI=\dis\frac{12}{\sqrt{5}}$$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4.5)%\psgrid
\psframe(0,0)(4,4)
\psline(0,4)(2,0)
\psline(0,0)(4,4)(0,2)
\psdots(0,0)\psdots(4,4)\psdots(4,0)\psdots(0,4)\psdots(0,2)\psdots(2,0)
\psdots(.8,2.4)\psdots(1.325,1.325)
\rput(-.2,-.3){\foo $B$}\rput(-.2,4.3){\foo $A$}
\rput(4.2,-.3){\foo $C$}\rput(4.2,4.3){\foo $D$}
\rput(2,-.3){\foo $F$}\rput(-.2,2){\foo $E$}
\rput(1.6,1.3){\foo $H$}\rput(.8,2.7){\foo $I$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}



Tambi\'en, usando la semejanza de los tri\'angulos $AHD$\ \  y\ \
$BHF$,\  se halla que el \'area del $ABFH$ es 12 $cm^2$. De modo
que, el \'area buscada es
$$(36-7.2-12)cm^2$$

\item[b.)] Utilizar el sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales cuyo origen es el punto $B$; eje de las abscisas, la
recta que contiene a $\overline{BC}$ y eje de las ordenadas, la
recta que contiene a $\overline{BA}$.

Es sencillo hallar las ecuaciones de las rectas que aparecen en el
dibujo, y los puntos de intersecci\'on: $I,H.$
\end{enumerate}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.92] Proyectemos horizontalmente, el punto $O$ sobre el
segmento $\overline{AD}$.\\ (LLamemos $F$ a esta proyecci\'on). Sea
$EF=x.$ Entonces,
$$\dis\frac{x\cdot50}{2}+\dis\frac{50+17}{2}50=\dis\frac{1}{5}\cdot100^2$$
$$\therefore \; x=13\;\therefore DE=37 cm$$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4.5)%\psgrid
\psframe(0,0)(4,4)
\pspolygon(.68,4)(2,2)(0,1.5)(0,4)
\psline[linestyle=dashed](2,2)(0,2)\psline(0,1.8)(.2,1.8)(.2,2)
\psdots(2,2)\psdots(0,0)\psdots(0,4)\psdots(4,4)\psdots(4,0)
\psdots(.68,4)\psdots(0,1.5)
\rput(-.2,4.2){\foo $A$}\rput(4.2,4.2){\foo $B$}\rput(4.2,-.2){\foo $C$}
\rput(-.2,1.5){\foo $E$}\rput(-.2,-.2){\foo $D$}\rput(2.2,1.8){\foo $O$}
\rput(-.3,2){\foo $F$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[2.93] El \'area del tri\'angulo $ABM$ es la mitad del \'area
del tri\'angulo $ABD$.

Ahora, usando el \underline{teorema de la bisectriz}:\\
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.5)(5,3)%\psgrid
\pspolygon(0,0)(1.8,2.4)(5,0)
\psline(0,0)(3.2,1.4)
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchangle=0](0,0)(1.8,2.4)(1.6,0.7)
\rput(1.8,2.7){\foo $A$}\rput(0,-.2){\foo $B$}\rput(5,-.2){\foo $C$}
\rput(3.4,1.6){\foo $D$}\rput(1.6,.5){\foo $M$}
\psdots(1.6,0.7)
\psarc(0,0){.5}{0}{26}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
$$\dis\frac{AD}{AB}=\dis\frac{DC}{BC}$$
$$\therefore\dis\frac{AD}{6}=\dis\frac{DC}{9}$$
$$\therefore\;\dis\frac{AD}{DC}=\dis\frac{6}{9}=\dis\frac{2}{3}.$$\\
Es decir, $$\dis\frac{\mbox{\'area del}\ \triangle ABD}{\mbox{\'area
del}\ \triangle DBC}=\dis\frac{2}{3};$$ como la suma de las dos
\'areas es $20 cm^2$, el \'area del $\triangle ABD= 8 cm^2$.
$$\therefore\;\mbox{\'area pedida}=4cm^2.$$

\item[2.94] Como el $\triangle ABC$ es semejante al $\triangle
QSC$, con raz\'on de semejanza igual a 3, resulta que:

$$\dis\frac{\mbox{ \'area del }\triangle ABC}{\mbox{ \'area del }\triangle QSC}=9.$$
An\'alogamente, $$\dis\frac{\mbox{ \'area del }\triangle
ABC}{\mbox{ \'area del }\triangle PRC}=\dis\frac{9}{4}.$$

Ahora,

$\mbox{ \'area del cuadril\'atero }PRSQ=\mbox{ \'area del }
\triangle PRC-\mbox{ \'area del } \triangle QSC=$


$=\dis\frac{4}{9}\mbox{ \'area del } \triangle
ABC-\dis\frac{1}{9}\mbox{ \'area del } \triangle
PRC=\dis\frac{1}{3}\mbox{ \'area del }\triangle ABC$

$$\therefore \dis\frac{ \mbox{\'area del} \triangle
ABC}{\mbox{\'area del cuadril\'atero PRSQ}}=3.$$

\item [2.95] El \'area del rect\'angulo $ABCD$ se expresa como:
$R(2r+2R)$ (lo cual es igual a $36 m^2$).

El \'area del $\triangle
PQT=\dis\frac{(r+R)R}{2}=\dis\frac{18}{2}=9m^2.$

\item[2.96]
\begin{enumerate}
\item[a.)] \ \

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(9,3.5)%\psgrid
\pspolygon[showpoints=true](0,0)(9,0)(3.25,3.11247)
\psdots(3.46,0)
\psdots(4.16,2.62)\psdots(2.5,2.39)
\pscircle(3.46,1.4){1.4}
\rput(1.71,-.2){\foo $x$}\rput(1.3,1.5){\foo $x$}
\rput(2.6,2.8){\foo $z$}\rput(3.8,3){\foo $z$}
\rput(6.4,1.6){\foo $y$}\rput(5.8,-.2){\foo $y$}
\end{pspicture}
\end{center}

 Nos queda el sistema:
  \[\left\lbrace\begin{array}{ccc}
x+y & = & 36\\
y+z & = & 28   \\
x+z & = &18,
  \end{array}
\right. \]
de donde $x=13; \;y=23;\;z=5$.

\begin{minipage}{6cm}
\item[b.)]Resulta que los tri\'angulos $BCA$\ \  y\ \  $DCE$ son
congruentes; luego, tambi\'en lo son los tri\'angulos $BDF$\ \  y\ \
$FAE$.

Llamemos $x$, al \'area del $\triangle DCF$,\ \ e \ \ $y$,\ \  al
\'area del $\triangle CAF$.

$\therefore$ el \'area del $\triangle BDF=3x$; \ \ el \'area del
$\triangle FAE=3y$.

Pero \'area del $\triangle BDF=$ \'area del $\triangle FAE$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.2,4.2)%\psgrid
\psline(0,0)(0,4)(1,0)\psline(0,0)(4,0)(0,1)
\psdots(0,0)\psdots(0,4)\psdots(1,0)
\psdots(4,0)\psdots(0,1)\psdots(.8,.8)
\rput(-.2,-.3){\foo $C$}\rput(1,-.3){\foo $A$}\rput(4,-.3){\foo $E$}
\rput(-.2,1){\foo $D$}\rput(-.2,4){\foo $B$}\rput(1,1){\foo $F$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(.8,.8)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
$$\begin{array}{ll}
\therefore & 3x=3y\\
\therefore & x=y.\\
\end{array}$$
$$\mbox{Así: }\; \mbox{\'area del } \triangle BCA=5x,  \mbox{ y \'area del
cuadril\'atero }CAFD=2x.$$



\begin{minipage}{6cm}
\item[2.97] Se cumple:

$\sphericalangle \;OAM= 60^\circ$;

apotema del hex\'agono mayor $$OM=L sen
60^\circ=L\dis\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

$\therefore$ \'area del hex'agono mayor:

 $$\dfrac{6L.L\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3L^2\sqrt{3}}{2}$$

\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-.4)(5.4,4.2)%\psgrid
%\pscircle(2,2){2}\pscircle(4,2){2}\pscircle(0,2){2}
\pspolygon(0,2)(1,3.73205)(3,3.73205)(4,2)(3,0.26794)(1,0.26794)
\psline[linestyle=dashed](3,3.73205)(3,1.42)
\pspolygon(3,0.26794)(3,1.42)(4,2)(5,1.42)(5,0.26794)(4,-.32)
\psdots(4,.85)\psdots(2,2)
\psline[linestyle=dashed](1,0.26794)(2,2)(2,0.26794)
\psline[linestyle=dashed](4,.85)(3,1.42)
\psline(1.8,0.26794)(1.8,0.46794)(2,0.46794)
\psarc(3,0.26794){.3}{60}{90}
\psarc(4,2){.3}{210}{240}

\psline{|-}(1,4)(1.7,4)\psline{-|}(2.3,4)(3,4)\rput(2,4){\foo $L$}
\psline{|-}(5.2,1.42)(5.2,1.05)\psline{-|}(5.2,.6)(5.2,0.26794)\rput(5.2,0.85){\foo $l$}
\rput(2,2.3){\foo $O$}\rput(1,0){\foo $A$}\rput(3,0){\foo $B$}\rput(2,0){\foo $M$}
\rput(4.2,2.2){\foo $C$}\rput(2.8,1.4){\foo $E$}\rput(4.3,.85){\foo $O'$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

An\'alogamente, \'area del hex\'agono menor:
$\dis\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}$

\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $\sphericalangle EBC = 30^0$

\item[$\bullet$] $\dis\frac{L}{2}=l \cos
30^\circ=l\dis\frac{\sqrt{3}}{2}$
\end{enumerate}

$$\therefore\;\dfrac{\mbox{\'area del hex\'agono
menor}}{\mbox{\'area del hex\'agono
mayor}}=\dis\frac{l^2}{L^2}=\dis\frac{1}{3}$$

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{6cm}
\item[2.98]
\item[a.)] Al \underline{sector
circular} $OAB$ le restamos el \'area del $\triangle OAB.$

Luego, el resultado lo multiplicamos por 8:

$$8\cdot \left(\dis\frac{\pi \cdot4^2}{4}-\dis\frac{4\cdot4}{2}\right)cm^2$$
\end{minipage}
 \hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(4,4)%\psgrid
\psframe(0,0)(4,4)
\psarc(2,4){2}{180}{270}
\psarc[fillstyle=vlines,hatchsep=.13](4,2){2}{90}{180}
\psarc(2,4){2}{270}{360}
\psarc(4,2){2}{180}{270}
\psline[linestyle=dashed](4,2)(2,2)(4,4)
\rput(1.8,1.8){\foo $O$}\rput(4.3,4.2){\foo $A$}\rput(4.3,2){\foo $B$}
\psline(3.8,2)(3.8,2.2)(4,2.2)
\psdots(0,2)\psdots(2,0)\psdots(4,2)\psdots(2,4)\psdots(2,2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{minipage}{6cm}
\item[b.)]$$2\cdot\left[\dis\frac{\pi \cdot25^2}{4}-\dis\frac{25\cdot25}{2}\right]$$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4.5,4.5)%\psgrid
\psframe(0,0)(4,4)
\psarc[fillstyle=vlines,hatchsep=0.13](4,0){4}{90}{180}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(4,4)
\rput(-.2,-.2){\foo $D$}\rput(-.2,4.2){\foo $A$}\rput(4.2,4.2){\foo $B$}\rput(4.2,-.2){\foo $C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}


\begin{minipage}{6cm}
\item[c.)] Al \'area del $\triangle O_1O_2O_3$ le restamos 3.
\'area del sector circular $O_1AB$.

Tenemos: el $\triangle O_1O_2O_3$ es \underline{equil\'atero}, de
lado 6 m;

 $\sphericalangle A O_1 B = 60^0=\dis\frac{\pi}{3}rad.$

\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,.2)(4,4.5)%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=hlines*,hatchangle=0](2,3)(1,1.268)(3,1.268)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,3){1}\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1,1.268){1}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](3,1.268){1}
\psdots(2,3)\psdots(1,1.268)\psdots(3,1.268)\psdots(1.5,2.134)
\psdots(2.5,2.134)\psdots(2,1.268)
\pspolygon[linestyle=dashed](3,1.268)(2,3)(1,1.268)
\rput(2,3.3){\foo $O_1$}\rput(3,.9){\foo $O_2$}\rput(1,.9){\foo $O_3$}
\rput(2.8,2.05){\foo $B$}\rput(1.2,2.05){\foo $A$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}

Respuesta:
$$\dfrac{6^2\sqrt{3}}{4}-3\dfrac{3^2}{2}\dfrac{\pi}{3}=\left(9\sqrt{3}-\dfrac{9}{2}\pi\right)cm^2$$

\bigskip
\begin{minipage}{5cm}
\item[d.)] $r=(36-r)sen 30^0=18-\dis\frac{r}{2}$

$\therefore\;\dis\frac{3}{2}r=18\\
\therefore r=12.$
\end{minipage}
\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{5.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(7,4)%\psgrid
\pscircle(2,2){2}
\pswedge[fillstyle=hlines,hatchangle=0](2,2){2}{240}{300}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2,.665){.665}
\psdots(2,2)\psdots(2,0)\psdots(1.42,1)\psdots(2.58,1)
\psdots(2,.665)
\psarc(5,.5){.4}{0}{60}
\psarc(7,3.5){.4}{240}{270}
\rput(2,2.3){\foo $O$}\rput(.9,.1){\foo $A$}\rput(3.1,.1){\foo $B$}
\rput(2,.4){\foo $O'$}
\pspolygon(7,3.5)(5,.5)(7,.5)
\psline(6.8,.5)(6.8,.7)(7,.7)
\rput(5,.2){\foo $O'$}\rput(2.8,1.2){\foo $C$}\rput(7,3.8){\foo $O$}
\rput(7,.2){\foo $C$}
\rput(5.7,.8){\foo $60^o$}\rput(6.75,2.65){\foo $30^o$}
\rput(6,.2){\foo $r$}\rput(5.4,2){\foo $36-r$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
$$
\begin{array}{cll}
\mbox{El \'area sombreada} & = & \mbox{\'area del sector }
OAB-\pi\cdot12^2\\[.4cm]
& = & \frac{1}{2}\cdot36^2\cdot\frac{\pi}{3}-\pi\cdot12^2\\[.4cm]
& = & \pi\left(\dis\frac{36^2}{6}-12^2\right)\\[.4cm]
& = & 72\pi\;cm^2
\end{array}$$


\item[2.99] \begin{enumerate}

\item[a.)] Tenemos

\begin{tabular}{l}

  $30=2\cdot5\cdot3$ \\
  $72=2^3\cdot3^2$ \\
  $N$ divide a $30\cdot72=2^4\cdot3^3\cdot5$ \\
  30 divide a $72\cdot N=2^3\cdot3^2\cdot N$ \\
  72 divide a $30\cdot N=2\cdot3\cdot5\cdot N$
\end{tabular}

De esto se concluye que $N$ es de la forma: $2^\alpha\cdot
3^\beta\cdot5$

¿Cu\'ales son las condiciones para $\alpha$ y $\beta$?

\begin{enumerate}
\item[$\bullet$] $2^\alpha\cdot3^\beta.5$ divide a $2^4\cdot3^3\cdot5$

$\therefore\, \alpha\leq 4;\quad \beta\leq 3$

\item[$\bullet$] $2^3\cdot3^2$ divide a $2^{\alpha+1}\cdot3^{\beta+1}\cdot5^2$

$\therefore \; \alpha+1\geq 3;\; \beta+1\geq 2$

\end{enumerate}

¿Cu\'ales son los $\alpha$ y $\beta$,  m\'as pequeños, que cumplen
los requisitos?

\qquad Son $\alpha=2$ \ \ y\ \  $\beta=1$.

As\'i que, $N=2^2\cdot3\cdot5=60$.

\item[b.)] Imaginemos, cuatro ``nidos'', uno para el color rojo,
otro para el color azul, otro para el verde y otro para las metras
amarillas o blancas. Imaginemos, tambi\'en, el peor de los casos:

Hemos sacado las 15 (entre blancas y amarillas), 14 rojas, 14 azules
y 14 verdes. Con la pr\'oxima metra que se saque, se habr\'a
completado, con seguridad, 15 metras de un mismo color.\\ As\'i que,
la respuesta es: 15+14+14+14+1, total: \underline{58} metras.


\end{enumerate}

\item[2.100] Quien quer\'ia descifrar el enigma, hizo un listado
de las distintas maneras en la que 36 puede descomponerse como
producto de tres n\'umeros naturales (al lado coloc\'o la suma
respectiva de dichos factores):

\begin{tabular}{ccc|c}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  1 & 1 & 36 & 38 \\

  1 & 2 & 18 & 21 \\
  1 & 3 & 12 & 16 \\
  1 & 4 & 9 & 14 \\
  1 & 6 & 6 & \textbf{13 }\\
  2 & 2 & 9 & \textbf{13}\\
  2 & 3 & 6 & 11 \\
  3 & 3 & 4 & 10 \\

\end{tabular}

Luego, cont\'o el n\'umero de pasajeros del autob\'us. A\'un as\'i,
no pudo hallar las edades de los hijos de su amigo. ¿A qu\'e se
deb\'ia su duda? \underline{S\'olo a un hecho}: estaba en el caso
1,1,6\ \  ó\ \  2,2,9. Su duda se despej\'o con la informaci\'on
adicional que le di\'o el amigo.
\end{enumerate}

\newpage

\section{Respuestas de Taller I}
\begin{enumerate}

\item[1.1]\qquad
\begin{tabular}{lr}
% after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  Adolfo & $\longrightarrow$ secci\'on 4 \\
  Felipe & $\longrightarrow$ secci\'on 1 \\
    Juan & $\longrightarrow$ secci\'on 2 \\
      Marcos & $\longrightarrow$ secci\'on 3 \\
\end{tabular}

\item[1.2]\qquad 0

\item[1.3]\qquad 15 minutos.

\item[1.4]\qquad Volteando las dos primeras tarjetas.

\item[1.5]\qquad a 5 collares

\item[1.6]\qquad $60\%$

\item[1.7]\qquad $9^{10}$

\item[1.8] \begin{enumerate} \item[a.)] 871

\item[b.)] 840
\end{enumerate}
\item[1.9] \qquad $3^a$ fila

\qquad $155^a$ columna.

\item[1.10] \qquad el 4.

\item[1.11]\qquad basta ver que termina en 3.

\item[1.12] \qquad 73

\item[1.13] \qquad $11^{10} -1=\mbox{n\'umero par}\cdot10\cdot\mbox{n\'umero
terminado en 5}$

\item[1.14]\qquad  6

\item[1.15]\qquad
\begin{tabular}{lr}

  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
 Alberto& Abogado \\
  Benito & m\'edico \\
    Cecilio & ingeniero
\end{tabular}

\item[1.16] \qquad 7.5 minutos

\item[1.17] \qquad S\'i. Se hacen 3 grupos de 3 bolas cada uno.

\item[1.18] \qquad 6

\item[1.19] \qquad 1 m.

\item[1.20] \qquad 36

\item[1.21]\qquad  $a=5$

\qquad $b=4$

\item[1.22]\qquad  8

\item[1.23] \qquad 36

\item[1.24] \qquad $40\dis\frac{km}{h}$

\item[1.25] \qquad 13 cm.

\item[1.26] \qquad 12 cm, 12 cm, 16 cm.

\item[1.27] \qquad 72 cm

\item[1.28] \qquad 4m

\item[1.29] \begin{enumerate}

\item[a.)] 12

 \item[b.)]$22\sqrt{3}cm^2$
\end{enumerate}

\item[1.30] \qquad 72 $cm^2$

\item[1.31] \qquad 312,5 metros.

\item[1.32] \qquad 19 metros.

\item[1.33] \qquad 5 cm.

\item[1.34] \qquad 2.6 m.

\item[1.35] \qquad $2cm^2$

\item[1.36] \qquad $\dis\frac{16}{65}$

\item[1.37] \qquad 812,5 m.

\item[1.38] \qquad 20 cm.

\item[1.39] \qquad Son iguales.

\item[1.40] \qquad 29 pies.

\item[1.41] \qquad 30 m.

\item[1.42] \qquad 2,7 m.

\item[1.43] \qquad 9 cm.

\item[1.44] \qquad 2.2 $cm^2$

\item[1.45] \qquad $\dis\frac{64}{3}$

\item[1.46] \qquad $\dis\frac{10}{7} cm^2$

\item[1.47] \qquad  $200 cm^2$

\item[1.48] \qquad No es posible

\item[1.49] \qquad $EF=15cm$

\qquad $FC=20cm$

\item[1.50]\qquad  8

\item[1.51] \qquad 12 cm

\item[1.52]\qquad  9 años

\item[1.53] \qquad 106

\item[1.54]\qquad  48

\item[1.55]\qquad  418

\item[1.56] \qquad 12 años

\item[1.57]\qquad  $x=1$

\qquad $y=-4$

\item[1.58] \begin{enumerate}

\item $a+b=-6$
\item $ab=6$
\end{enumerate}

\item[1.59] \qquad 10

\item[1.60] \qquad $x=10$

\item[1.61]\qquad  20

\item[1.62]\qquad  6 puntos

\item[1.63] \qquad 150

\item[1.64] \qquad 30

\item[1.65]\qquad  180m

\item[1.66] \qquad $42^0$

\item[1.67] \qquad 10.000 $B^{\underline{s}}$

\item[1.68] \qquad 4 cm

\item[1.69] \qquad 20 cm

\item[1.70] \qquad 34 cm

\item[1.71] \qquad 77

\item[1.72] \qquad $(3-2\sqrt{2})$cm

\item[1.73] \qquad 8 cm

\item[1.74]\qquad  30

\item[1.75] \qquad 4cm

\item[1.76] \qquad $log_{10} 1=0$

\item[1.77] \qquad la e

\item[1.78]\qquad  No minti\'o; se trata del n\'umero 2

\item[1.79] \qquad 100

\item[1.80]\qquad  1

\item[1.81]\qquad  $\dis\frac{3}{2}$

\item[1.82] \qquad 3

\item[1.83]\qquad  4

\item[1.84]\qquad  40 d\'ias

\item[1.85] \qquad el 2

\item[1.86]\begin{enumerate}

\item[a.)] 25

\item[b.)] 16

\end{enumerate}

\item[1.87] \begin{enumerate}

\item[a.)] 180 litros

\item[b.)] 12m

\end{enumerate}

\item[1.88] \begin{enumerate}

\item[a.)] 12

\item[b.)] 63

\end{enumerate}

\item[1.89]\qquad 120

\item[1.90]\qquad 630

\item[1.91]\qquad 240

\item[1.92]\qquad 28 d\'ias

\item[1.93]\qquad 640

\item[1.94]\qquad 155

\item[1.95]\qquad 1440

\item[1.96]\qquad 480

\item[1.97]\qquad 140

\item[1.98]\qquad 63

\item[1.99] \begin{enumerate}

\item 75

\item 36
\end{enumerate}


\item[1.100]\qquad 62 \newpage

\section{Respuestas de Taller II}

\item[2.1]\qquad 3.999.995

\item[2.2]\qquad -$\dis\frac{1}{9}$

\item[2.3]\qquad 4, que son:
$(0,1)$, $(0,-1)$, $(-1,\sqrt{2})$, $(-1.-\sqrt{2})$

\item[2.4]\qquad 26

\item[2.5]\qquad
$\dis\frac{1}{2},\dis\frac{1}{5},\dis\frac{2}{5},\dis\frac{1}{4}$

\item[2.6]\qquad  $\dis\frac{31}{32}$

\item[2.7]\qquad $\dis\frac{1}{4}$

\item[2.8]\qquad  $\left\{0,1,-1\right\}$

\item[2.9]\qquad  $108x^4$

\item[2.10]\qquad  $a=b=0$

\item[2.11]\qquad  $[-6,0]\cup[2,8]$

\item[2.12]\qquad  55

\item[2.13]\qquad  120

\item[2.14]\qquad  1

\item[2.15]\qquad  36 cajas; 500 $Bs$

\item[2.16]\qquad  una docena

\item[2.17]\qquad  15 horas

\item[2.18]\qquad  300

\item[2.19] \qquad I0968

\item[2.20]\qquad  30 años

\item[2.21] \qquad 90: 50 hombres y 40 mujeres.

\item[2.22] \qquad 11 años

\item[2.23] \qquad 12 años

\item[2.24]\qquad 328

\item[2.25]\qquad 0,375 cm

\item[2.26]\qquad 18 años

\item[2.27]\qquad $x=3$

\item[2.37]\qquad  1\ \  y\ \  3

\item[2.38] \begin{enumerate} \item[a.)] 81
\item[b.)] 504
\end{enumerate}

\item[2.39]\begin{enumerate} \item[a.)] 125

\item[b.)]\qquad 60

\item [c.)]\qquad10
\end{enumerate}

\item[2.40]\qquad 42 d'ias

\item[2.41]\qquad 84

\item[2.42] \qquad 105

\item[2.43]\qquad 126

\item[2.44]\begin{enumerate}\item[a.)] $81^{\underline{0}}$
\item[b.)] 46721
\item [c.)]1
\item[d.)] 5.333.280
\end{enumerate}

\item[2.45] \qquad 12.960

 \item[2.46]\begin{enumerate} \item[a.)] 251

  \item[b.)] 11 \end{enumerate}

\item[2.51] \qquad b.) $(2,4),\;(3,7),\;(0,3),\;(3,8)$

\item[2.53]\qquad rece

\item[2.54]\qquad En el punto $(44,16)$

\item[2.55] \begin{enumerate} \item[a.)] $(1,-3)$

  \item[b.)] En $(\dis\frac{1}{2},\dis\frac{5}{2})\;\;;
\dis\frac{9}{2}$
\end{enumerate}


\item[2.57]\qquad 16


\item[2.58 ]\qquad $\dis\frac{1}{12}$

\item[2.59 ]\qquad $f(x)=\dis\frac{1}{32}x^3+\dis\frac{3}{16}x^2$

\item[2.60 ]\begin{enumerate} \item[a.)] 0

  \item[b.)] -3
\end{enumerate}

\item[2.61] \qquad$\dis\frac{13}{3}$

\item[2.62]\qquad $-6,-\frac92,-\frac13,\dis\frac{1}{6}, \dis\frac{8}{3},\frac{11}3$

\item[2.63] \qquad $m=5$

\item[2.64]\begin{enumerate} \item[a.)]$\emptyset$

  \item[b.)] $A$
\end{enumerate}

\item[2.65]\qquad $f^{-1}$ es la misma $f$

\item[2.66] \begin{enumerate} \item[a.)]S\'i

  \item[b.)] No
\end{enumerate}

\item[2.67]\qquad la e

\item[2.68] \begin{enumerate} \item[a.)]$\dis\frac{1}{10}$

  \item[b.)] 1
\end{enumerate}

\item[2.69]

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  & e& w & w^2 & p & q & r \\
\hline
   e & e & w & w^2 & p & q & r \\
  w & w & w^2 & e & q & r & p \\
  w^2 & w^2 & e & w & r & p & q \\
  p & p & r & q & e & w^2 & w \\
  q & q & p & r & w & e & w^2 \\
  r & r & q & p & w^2 & w & e \\
  \hline
\end{array}$$

\item[2.70]\begin{enumerate} \item[a.)]$\dis\frac{27}{2}$

  \item[b.)] 5461

  \item[d.)] 3.999.960

  \item[f.)] 1, 10, 9, 18

  \item[h.)] tres: 1, 5, 13
\end{enumerate}

\item[2.71]  \begin{enumerate}
\item[a.)]$\dis\frac{1}{2}=\dis\frac{1}{6}+\dis\frac{1}{3}$ \'o
$\dis\frac{1}{2}=\dis\frac{1}{4}+\dis\frac{1}{4}$

  \item[b.)] existen dos rect\'angulos:uno es 4x4, el otro, 3x6.

  \item[c.)] 4 \ \ y\ \  4 \ \  \'o\ \  3\ \  y\ \  6

  \item[d.)] 4 \ \ y \ \ 4\ \  \'o\ \  3\ \  y\ \  6

  \item[e.)] $n=3;\;\; n=4;\;\; n=6$

   \item[f.)] $n=3;\;\; n=4;\;\; n=6$
\end{enumerate}

\item[2.72] \qquad 1 hora 36 minutos

\item[2.73] \qquad $\dis\frac{5}{7}$

\item[2.74]\qquad  66

\item[2.75]\qquad  6:00 am

\item[2.77]\qquad 8 cm

\item[2.78]\qquad  $12 \pi cm^2$

\item[2.79]\qquad  6 cm

\item[2.80]\qquad 20 cm

\item[2.81]\qquad  $50\pi cm^2$

\item[2.82]\qquad $4cm^2$

\item[2.83]\qquad 56 cm

\item[2.84] \begin{enumerate} \item[a.)]3,125 cm

  \item[b.)] 8.5 cm

  \item[c.-] 13 cm
\end{enumerate}

\item[2.85]\qquad $\dis\frac{8}{5}r$

\item[2.86]\qquad $64 cm^2$

\item[2.87] \qquad 2 cm

\item[2.88] \begin{enumerate} \item[a.)]16 m

  \item[b.)] 10 cm

  \item[c.)] 20 m

  \item[d.)] 7.5 cm

  \item[e.)] \begin{enumerate}\item 144 $cm^2$

  \item 24 cm

  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\item[2.89]  \begin{enumerate}\item [a.)] 4 cm

  \item[b.)] 6 cm

  \end{enumerate}

\item[2.90] \begin{enumerate}\item [a.)] nueve

  \item[b.)] $\dis\frac{13}{2}cm^2$

  \end{enumerate}

\item[2.91]\qquad 16,8 $cm^2$

\item[2.92]\qquad 37 cm

\item[2.93]\qquad 4 $cm^2$

\item[2.94]\qquad 3

\item[2.95]\qquad 9 $m^2$

\item[2.96]\begin{enumerate}\item [a.)] 23cm, 13cm, 5cm

  \item[b.)] $\dis\frac{2}{5}$

  \end{enumerate}

\item[2.97]\qquad $\dis\frac{1}{3}$

\item[2.98]\begin{enumerate}\item [a.)] $32(\pi-2)cm^2$

  \item[b.)] $625\left(\dis\frac{\pi}{2}-1\right)cm^2$

\item[c.)] $9\left(\sqrt{3}-\dis\frac{\pi}{2}\right) cm^2$

\item[d.)] $72 \pi cm^2$

  \end{enumerate}

  \item[2.99]\begin{enumerate}\item [a.)] 60

  \item[b.)] 58

  \end{enumerate}

   \item[2.100] \qquad 13 pasajeros; 2,\ \  2 \ \ y\ \  9 años.
\end{enumerate}


\newpage
 \begin{thebibliography}{99}\addcontentsline{toc}{section}{Referencias}
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